1、9.2 导数的应用考点核心整合1.求可导函数单调区间的一般步骤和方法:(1)确定函数f(x)的定义区间.(2)求f(x),令f(x)=0,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根.(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间.(4)确定f(x)在各小开区间内的符号,根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.2.求函数的极值、最值(1)求出可疑点,即f(x)=0的解x0;(2)用极值的方法确定极值;(3)在a,b上的最值的求法:将(a,b)内的极值与f(a)、f(b)比
2、较,其中最大的为最大值,最小的为最小值;当f(x)在(a,b)内有一个可疑点时,若在这一点处f(x)有极大(小)值,则可以确定f(x)在该点处取到最大(小)值.3.函数最值与极值的区别与联系:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体的概念.(2)闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值.(4)如果函数不在闭区间a,b上可导,则确定函数的最值时,不仅要比较该函
3、数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.(5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.考题名师诠释【例1】已知f(x)=2x3-3(a-1)x2+1(a1)()求其单调区间；（）讨论f(x)的极值.解析：由已知得f(x)=6xx-(a-1),令f(x)=0,解得x1=0,x2=a-1.()当a=1时，f(x)=6x2,f(x)在(-,+)上单调递增. 当a1时，f(x)=6xx-(a-1).f(x)、f(x)随x的变化情况如下表：x(-,0)0(0,a-1)a-1(a-1,
4、+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值 从表上可知 函数f(x)在（-，0）上单调递增，在(0,a-1)上单调递减，在（a-1,+）上单调递增.()由()知. 当a=1时，函数f(x)没有极值. 当a1时，函数f(x)在x=0处取得极大值1，在x=a-1处取得极小值1-(a-1)3.评述：正确求导，利用导数的正负与单调性的关系进行求解，主要考查利用导数求单调区间与极值，考查分类讨论的思想方法.【例2】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1时都取得极值.(1)求a、b的值及函数f(x)的单调区间;(2)若对x-1,2，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围.解析：（1）f
5、(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b, 由f(-)=-a+b=0,f(1)=3+2a+b=0, 得a=-,b=-2,f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表：x(-,-)-(-,1)1(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值 所以函数f(x)的递增区间为（-，-）与（1，+）；递减区间为（-，1）.（2）f(x)=x3-x2-2x+c,x-1,2,且当x=-时，f(x)=+c为极大值. 而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值， 要使f(x)c2(x-1,2)恒成立，只须c2f(2)=2+c,解得c-1或c2.评述：本
6、题借助于导数，重点考查了函数与不等式的综合应用，将不等式转化为函数的最值，利用导数求函数的最值，具有一定的综合性.链接思考f(x)=0,f(x)的单调性怎样?答:不具有单调性.【例3】设函数f(x)=x3+ax2+bx+c,在x=1处取极值-2，试用b表示a和b，并求f(x)的单调区间.解析：依题意有f(1)=-2,f(1)=0,而f(x)=3x2+3ax+b, 故解得 从而f(x)=3x2+2cx-(2c+3)=(3x+2c+3)(x-1) 令f(x)=0,得x=1或x=-. 由于f(x)在x=1处取得极值，故-1,即c-3.(1)若-1,即c-3,则当x(-,-)时，f(x)0; 当x(-
7、,1)时，f(x)0;当x(1,+)时，f(x)0. 从而f(x)的单调区间为（-,-,1，+)；单调减区间为-,1.(2)若-1,即c-3，同上可得，f(x)的单调增区间为（-，1，-,+)；单调减区间为1，-.评述：本小题主要考查导数的概念和计算，考查应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.由导数公式和已知条件利用待定系数法求出a、b、c，然后分类讨论思想由f(x)的符号判断单调区间，最后单调区间要分开写，不能使用并集符号.【例4】设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中aR.(1)若f(x)在x=3处取得极值,求常数a的值;(2)若f(x)在(-,0)上为增函数,求
8、a的取值范围.分析：在x=3处取极值,则x=3使导函数等于零;在(-,0)上为增函数,则f(x)在(-,0)上恒正.解：(1)f(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1). 因f(x)在x=3处取得极值, 所以f(3)=6(3-a)(3-1)=0. 解得a=3. 经检验知当a=3时,x=3为f(x)的极值点.(2)令f(x)=6(x-a)(x-1)=0, 得x1=a,x2=1. 当a0, 所以f(x)在(-,a)和(1,+)上为增函数, 故当0a0, 所以f(x)在(-,1)和(a,+)上为增函数. 从而f(x)在(-,0上也为增函数. 综上所述,当a0,+)时,f(x)在(-,0)上为增函数.评述：本题考查了导数、极值、单调性等知识,考查了函数与方程的转化思想.
