1、四川省川大附中2021届高三数学上学期期中试题(时间:120分钟 满分:150分)第一部分(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出四个选项中,只有一项符合题目要求的.1. 已知全集,集合,则=( )A B C D 2. 若复数满足,则下列说法正确的是( )A的虚部为2 B为实数 C D3. 设,则“”是“”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4. 已知变量满足约束条件,则的最大值( )A B1 C4 D85. 记Sn为等差数列an的前n项和已知S40,a55,则( )Aan2n5 Ban3n10 CSn2n2
2、8n DSnn22n6. 函数y=sin2x的图象可能是( )A B C D7. 已知,则a,b,c的大小关系为( )A B C D8. 在ABC中,BC1,AC5,则AB等于( )A4 B. C. D29. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A B C D10. 已知递增的等比数列an中,a26,a11,a22,a3成等差数列,则该数列的前6项和S6等于( )A93 B189 C D37811. 已知是定义域为的奇函数,满足若,则( )A B0 C2 D5012. 双曲线C:的一条渐近线的倾斜角为130,则C的离心率为( )A2sin40 B2cos40 C D第二部分(非选
3、择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷相应的横线上.13. 曲线在点(1,2)处的切线方程为 14. 直线与圆交于两点,则 15. 已知向量,若,则 16. 给出以下命题:(1)已知回归直线方程为,样本点的中心为,则;(2)已知,与的夹角为钝角,则是的充要条件;(3)函数图象关于点对称且在上单调递增;(4)命题“存在”的否定是“对于任意”.其中不正确的命题序号为 三、解答题(本大题共7小题,其中17-21题为必做题,每题12分,在22、23题选做一题,10分,共70分)17. (12分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中
4、点,AB=BC求证:(1)A1B1平面DEC1;(2)BEC1E18. (12分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率19. (12分)已知向量,其中,函数,若函数图象的两个相邻对称中心的距离为.(1)求函数的单调递增区间;(2)将函
5、数的图象先向左平移个单位长度,然后纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到函数的图象,当时,求函数的值域20. (12分)已知椭圆的上顶点为,左、右焦点分别为,离心率,的面积为(1)求椭圆的标准方程;(2)直线与椭圈相交于点,则直线,的斜率分别为,且,其中是非零常数,则直线是否经过某个定点?若是,请求出的坐标21. (12分)已知函数(a为实常数)(1)当时,求函数在上的最大值及相应的x值;(2)当时,讨论方程的根的个数;选做题:(请在下面题目中选择一题完成,注意在答题卡对应位置将你选择的题号用2B铅笔填涂,并将选做题目答案写在规定区域)22. 选修4-4(极坐标与参数方程)(10分)在直角坐
6、标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线、的直角坐标方程;(2)设曲线、交于点、,曲线与轴交于点,求线段的中点到点的距离.23. 选修4-5(不等式选讲)(10分)已知函数.(1)解不等式;(2)若,且,求证:.川大附中2021届高三上半期考试数学试题(文科)(时间:120分钟 满分:150分)第一部分(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出四个选项中,只有一项符合题目要求的.1. 已知全集,集合,则=( )A B C D 【解析】,.故选A.2. 若复数满足,则下列说法正确的是( )
7、【答案】CA的虚部为2 B为实数 C D3. 设,则“”是“”的( )A充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】由可得,易知由推不出,由能推出,故是的必要而不充分条件,即“”是“”的必要而不充分条件.故选B.4. 已知变量满足约束条件,则的最大值( )【答案】DAB1C4D85. 记Sn为等差数列an的前n项和已知S40,a55,则( )Aan2n5 Ban3n10 CSn2n28n DSnn22n解设等差数列an的公差为d,解得ana1(n1)d32(n1)2n5,Snna1dn24n.故选A.6. 函数y=sin2x的图象可能是( )A B C D【解
8、析】令,因为,所以为奇函数,排除选项A,B;因为时,所以排除选项C,故选D7. 已知,则a,b,c的大小关系为( )A B C D【解析】,.故选A.8. 在ABC中,BC1,AC5,则AB等于( )答案AA4 B. C. D29. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ) 【答案】AABCD【解析】由三视图知:几何体是以半径为1,母线为3的半圆锥,(如图)可得该圆锥的高底面面积,几何体的体积10. 已知递增的等比数列an中,a26,a11,a22,a3成等差数列,则该数列的前6项和S6等于( )答案BA93 B189 C. D37811. 已知是定义域为的奇函数,满足若,则( )A
9、 B0 C2 D50【解析】因为是定义域为的奇函数,且,所以,因此,因为,所以,因为,从而.故选C12. 双曲线C:的一条渐近线的倾斜角为130,则C的离心率为( )A2sin40 B2cos40 C D【解析】由已知可得,故选D第二部分(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷相应的横线上.13. 曲线在点(1,2)处的切线方程为 【解析】设,则,所以,所以曲线在点处的切线方程为,即14. 直线与圆交于两点,则 【解析】根据题意,圆的方程可化为,所以圆的圆心为,且半径是2,根据点到直线的距离公式可以求得,结合圆中的特殊三角形,可知,故答案为.15
10、. 已知向量,若,则 【解析】由题可得,即,故答案为.16. 给出以下命题:(1)已知回归直线方程为,样本点的中心为,则;(2)已知,与的夹角为钝角,则是的充要条件;(3)函数图象关于点对称且在上单调递增;(4)命题“存在”的否定是“对于任意”.其中不正确的命题序号为 【答案】(2)(4)【解】(1)根据回归直线恒过样本的中心点,可得,故正确;(2)由有,与的夹角为钝角或平角,所以根据充要条件的定义可判断错误.故错误;(3)把代入函数,函数值为,所以函数关于对称,由,可得所以函数在上是递增的.所以函数在上是递增的.故正确;(4)命题“存在,”的否定是“对于任意,”故错误;故答案为:(2)(4)
11、三、解答题(本大题共7小题,其中17-21题为必做题,每题12分,在22、23题选做一题,10分,共70分)17. (12分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC求证:(1)A1B1平面DEC1;(2)BEC1E【解析】(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,所以EDAB. 在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABA1B1,所以A1B1ED. 又因为ED平面DEC1,A1B1平面DEC1, 所以A1B1平面DEC1.(2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BEAC.因为三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱,所以CC1平面ABC. 又因为BE平面ABC,所以C
12、C1BE.因为C1C平面A1ACC1,AC平面A1ACC1,C1CAC=C, 所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1,所以BEC1E.18. (12分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率【解析】(1)由已知,甲、乙、丙
13、三个年级的学生志愿者人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人(2)(i)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,A,G,B,C,B,D,B,E,B,F,B,G,C,D,C,E,C,F,C,G,D,E,D,F,D,G,E,F,E,G,F,G,共21种(ii)由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为A,B,A,C,B,C,D,E,F,G,共
14、5种所以,事件M发生的概率为P(M)=19. (12分)已知向量,其中,函数,若函数图象的两个相邻对称中心的距离为.(1)求函数的单调递增区间;(2)将函数的图象先向左平移个单位长度,然后纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到函数的图象,当时,求函数的值域 解(1)由题意可得f(x)mn32cos x(sin xcos x)232sin xcos x(2cos2x1)sin 2xcos 2xsin. 由题意知,T,得1,则f(x)sin.由2k2x2k,kZ,解得kxk,kZ,f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度,得到ysin的图象,纵坐标不变,横坐标缩短
15、为原来的,得到g(x)sin的图象x,4x,1sin,故函数g(x)的值域为,120. (12分)已知椭圆的上顶点为,左、右焦点分别为,离心率,的面积为(1)求椭圆的标准方程;(2)直线与椭圈相交于点,则直线,的斜率分别为,且,其中是非零常数,则直线是否经过某个定点?若是,请求出的坐标解:(1)因为,的面积,且,故解得,则,则椭圆的标准方程为(2)假设,直线与椭圆联立得消去整理得,则,又因为,所以,则,即,代入韦达定理得,即,化简得,因为,则,即,代入直线得,所以恒过,故直线经过定点21. (12分)已知函数(a为实常数)(1)当时,求函数在上的最大值及相应的x值;(2)当时,讨论方程的根的个
16、数;解:(1)当时,函数的定义域为当时,所以函数在上为减函数,在上为增函数,所以函数在上的最大值为,相应的x值为e(2)由,得若,则在上,函数在上为增函数,由知,方程的根的个数是0;若,由,得(舍)或若,即,在上为增函数,由知,方程的根的数是0;若,即,在上为减函数,又,所以方程在上有1个实数根;若,即,在上为减函数,在上为增函数,又,当,即时,方程在上的根的个数是0;当时,方程在上的根的个数是1;当时,方程在上的根的个数是2;当时,方程上的根的个数是1选做题:(请在下面题目中选择一题完成,注意在答题卡对应位置将你选择的题号用2B铅笔填涂,并将选做题目答案写在规定区域)22. 选修4-4(极坐
17、标与参数方程)(10分)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线、的直角坐标方程;(2)设曲线、交于点、,曲线与轴交于点,求线段的中点到点的距离.【解】(1)曲线的极坐标方程可以化为,所以曲线的直角坐标方程为,即.曲线的极坐标方程可以化为,所以曲线的直角坐标方程为;(2)易知点的坐标为,直线的倾斜角为,所以的参数方程为(为参数).将的参数方程代入曲线的直角坐标方程得,整理得,判别式,设、对应的参数分别为、,则线段的中点对应的参数为,所以线段的中点到点的距离为.23. 选修4-5(不等式选讲)(10分)已知函数.(1)解不等式;(2)若,且,求证:.(1)解依题意,原不等式等价于|x1|x3|8.当x1时,则2x28,解得x3.所以不等式f (x)f (x4)8的解集为x|x3或x5(2)证明要证f (ab)|a|f,只需证|ab1|ba|,只需证(ab1)2(ba)2.因为|a|1,|b|1,知a21,b20.故(ab1)2(ba)2成立从而原不等式成立