1、四川省川大附中2021届高三数学上学期期中试题(时间：120分钟 满分：150分)第一部分（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求的.1. 已知全集，集合，则=（ ）A B C D 2. 若复数满足，则下列说法正确的是（ ）A的虚部为2 B为实数 C D3. 设，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4. 已知变量满足约束条件，则的最大值（ ）A B1 C4 D85. 记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则（ ）Aan2n5 Ban3n10 CSn2n2
2、8n DSnn22n6. 函数y=sin2x的图象可能是（ ）A B C D7. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ）A B C D8. 在ABC中，BC1，AC5，则AB等于（ ）A4 B. C. D29. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A B C D10. 已知递增的等比数列an中，a26，a11，a22，a3成等差数列，则该数列的前6项和S6等于（ ）A93 B189 C D37811. 已知是定义域为的奇函数，满足若，则（ ）A B0 C2 D5012. 双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为（ ）A2sin40 B2cos40 C D第二部分（非选
3、择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷相应的横线上.13. 曲线在点（1，2）处的切线方程为 14. 直线与圆交于两点，则 15. 已知向量，若，则 16. 给出以下命题：（1）已知回归直线方程为，样本点的中心为，则；（2）已知，与的夹角为钝角，则是的充要条件；（3）函数图象关于点对称且在上单调递增；（4）命题“存在”的否定是“对于任意”.其中不正确的命题序号为 三、解答题（本大题共7小题，其中17-21题为必做题，每题12分，在22、23题选做一题，10分，共70分）17. （12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中
4、点，AB=BC求证：（1）A1B1平面DEC1；（2）BEC1E18. （12分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率19. （12分）已知向量，其中，函数，若函数图象的两个相邻对称中心的距离为.（1）求函数的单调递增区间；（2）将函
5、数的图象先向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域20. （12分）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，离心率，的面积为（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圈相交于点，则直线，的斜率分别为，且，其中是非零常数，则直线是否经过某个定点？若是，请求出的坐标21. （12分）已知函数（a为实常数）（1）当时，求函数在上的最大值及相应的x值；（2）当时，讨论方程的根的个数；选做题：（请在下面题目中选择一题完成，注意在答题卡对应位置将你选择的题号用2B铅笔填涂，并将选做题目答案写在规定区域）22. 选修4-4（极坐标与参数方程）（10分）在直角坐
6、标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线、的直角坐标方程;（2）设曲线、交于点、，曲线与轴交于点，求线段的中点到点的距离.23. 选修4-5（不等式选讲）（10分）已知函数.（1）解不等式；（2）若，且，求证：.川大附中2021届高三上半期考试数学试题(文科)(时间：120分钟 满分：150分)第一部分（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求的.1. 已知全集，集合，则=（ ）A B C D 【解析】，.故选A.2. 若复数满足，则下列说法正确的是（ ）
7、【答案】CA的虚部为2 B为实数 C D3. 设，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】由可得，易知由推不出，由能推出，故是的必要而不充分条件，即“”是“”的必要而不充分条件.故选B.4. 已知变量满足约束条件，则的最大值（ ）【答案】DAB1C4D85. 记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则（ ）Aan2n5 Ban3n10 CSn2n28n DSnn22n解设等差数列an的公差为d，解得ana1(n1)d32(n1)2n5，Snna1dn24n.故选A.6. 函数y=sin2x的图象可能是（ ）A B C D【解
8、析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，所以排除选项C，故选D7. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ）A B C D【解析】，.故选A.8. 在ABC中，BC1，AC5，则AB等于（ ）答案AA4 B. C. D29. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） 【答案】AABCD【解析】由三视图知：几何体是以半径为1，母线为3的半圆锥，（如图）可得该圆锥的高底面面积，几何体的体积10. 已知递增的等比数列an中，a26，a11，a22，a3成等差数列，则该数列的前6项和S6等于（ ）答案BA93 B189 C. D37811. 已知是定义域为的奇函数，满足若，则（ ）A
9、 B0 C2 D50【解析】因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，因为，从而.故选C12. 双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为（ ）A2sin40 B2cos40 C D【解析】由已知可得，故选D第二部分（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷相应的横线上.13. 曲线在点（1，2）处的切线方程为 【解析】设，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即14. 直线与圆交于两点，则 【解析】根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得，结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.15
10、. 已知向量，若，则 【解析】由题可得，即，故答案为.16. 给出以下命题：（1）已知回归直线方程为，样本点的中心为，则；（2）已知，与的夹角为钝角，则是的充要条件；（3）函数图象关于点对称且在上单调递增；（4）命题“存在”的否定是“对于任意”.其中不正确的命题序号为 【答案】（2）（4）【解】（1）根据回归直线恒过样本的中心点，可得，故正确；（2）由有，与的夹角为钝角或平角，所以根据充要条件的定义可判断错误.故错误；（3）把代入函数，函数值为，所以函数关于对称，由，可得所以函数在上是递增的.所以函数在上是递增的.故正确；（4）命题“存在，”的否定是“对于任意，”故错误；故答案为：（2）（4）
11、三、解答题（本大题共7小题，其中17-21题为必做题，每题12分，在22、23题选做一题，10分，共70分）17. （12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC求证：（1）A1B1平面DEC1；（2）BEC1E【解析】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以EDAB. 在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED. 又因为ED平面DEC1，A1B1平面DEC1， 所以A1B1平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BEAC.因为三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC. 又因为BE平面ABC，所以C
12、C1BE.因为C1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，C1CAC=C， 所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1，所以BEC1E.18. （12分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率【解析】（1）由已知，甲、乙、丙
13、三个年级的学生志愿者人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人（2）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，A，G，B，C，B，D，B，E，B，F，B，G，C，D，C，E，C，F，C，G，D，E，D，F，D，G，E，F，E，G，F，G，共21种（ii）由（1），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为A，B，A，C，B，C，D，E，F，G，共
14、5种所以，事件M发生的概率为P（M）=19. （12分）已知向量，其中，函数，若函数图象的两个相邻对称中心的距离为.（1）求函数的单调递增区间；（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域 解（1）由题意可得f(x)mn32cos x(sin xcos x)232sin xcos x(2cos2x1)sin 2xcos 2xsin. 由题意知，T，得1，则f(x)sin.由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，f(x)的单调递增区间为(kZ)（2）将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到ysin的图象，纵坐标不变，横坐标缩短
15、为原来的，得到g(x)sin的图象x，4x，1sin，故函数g(x)的值域为，120. （12分）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，离心率，的面积为（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圈相交于点，则直线，的斜率分别为，且，其中是非零常数，则直线是否经过某个定点？若是，请求出的坐标解：（1）因为，的面积，且，故解得，则，则椭圆的标准方程为（2）假设，直线与椭圆联立得消去整理得，则，又因为，所以，则，即，代入韦达定理得，即，化简得，因为，则，即，代入直线得，所以恒过，故直线经过定点21. （12分）已知函数（a为实常数）（1）当时，求函数在上的最大值及相应的x值；（2）当时，讨论方程的根的个
16、数；解：（1）当时，函数的定义域为当时，所以函数在上为减函数，在上为增函数，所以函数在上的最大值为，相应的x值为e（2）由，得若，则在上，函数在上为增函数，由知，方程的根的个数是0；若，由，得（舍）或若，即，在上为增函数，由知，方程的根的数是0；若，即，在上为减函数，又，所以方程在上有1个实数根；若，即，在上为减函数，在上为增函数，又，当，即时，方程在上的根的个数是0；当时，方程在上的根的个数是1；当时，方程在上的根的个数是2；当时，方程上的根的个数是1选做题：（请在下面题目中选择一题完成，注意在答题卡对应位置将你选择的题号用2B铅笔填涂，并将选做题目答案写在规定区域）22. 选修4-4（极坐
17、标与参数方程）（10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线、的直角坐标方程;（2）设曲线、交于点、，曲线与轴交于点，求线段的中点到点的距离.【解】（1）曲线的极坐标方程可以化为，所以曲线的直角坐标方程为，即.曲线的极坐标方程可以化为，所以曲线的直角坐标方程为；（2）易知点的坐标为，直线的倾斜角为，所以的参数方程为（为参数）.将的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，整理得，判别式，设、对应的参数分别为、，则线段的中点对应的参数为，所以线段的中点到点的距离为.23. 选修4-5（不等式选讲）（10分）已知函数.（1）解不等式；（2）若，且，求证：.（1）解依题意，原不等式等价于|x1|x3|8.当x1时，则2x28，解得x3.所以不等式f (x)f (x4)8的解集为x|x3或x5(2)证明要证f (ab)|a|f，只需证|ab1|ba|，只需证(ab1)2(ba)2.因为|a|1，|b|1，知a21，b20.故(ab1)2(ba)2成立从而原不等式成立