1、第3课时三角形中的几何计算内容标准学科素养1.掌握三角形的面积公式及推导2.利用面积公式、正弦定理、余弦定理、三角函数公式求解综合问题.发展逻辑推理提升数学运算运用直观想象授课提示：对应学生用书第12页基础认识知识点三角形的面积在ABC中，如何用AB，角B表示BC边上的高AD？如何用AB，BC，角B表示ABC的面积？(1)若B，ABC的面积能用acsin B计算吗？提示：可以(2)若B为锐角，ABC的面积用角B和a，c怎么表示？提示：BC边上的高ADcsin B，故SacsinB(3)若B为钝角，ABC的面积还能用acsin B计算吗？提示：能用，如图BC边上的高ADcsin(B)csin B
2、，SacsinB 知识梳理一般地，三角形面积等于两边及夹角正弦乘积的一半，即SABCabsin Cbcsin AacsinB思考(1)将上述面积公式，结合正弦定理，用三边a，b，c或三个角及外接圆半径R，如何表示三角形面积？提示：2R，故sin A，所以Sbcsin A.b2Rsin B，C2Rsin C，Sbcsin A2R2sin Asin Bsin C.(2)用三角形的三边a，b，c和内切圆半径r如何表示三角形面积？提示：S(abc)r.自我检测1在ABC中，若AB3，BC4，B120，则ABC的面积等于_答案：32在ABC中，若a2，b8，SABC4，则C_.答案：30或150授课提示
3、：对应学生用书第13页探究一与三角形面积有关的计算问题阅读教材P17例8已知三边求面积方法步骤：(1)利用余弦定理求某角的余弦值(2)利用“平方关系”求该角的正弦值(3)选用面积公式(两边夹角)求面积例1如图，四边形ABCD中，BC120，AB4，BCCD2，则该四边形的面积等于()A.B5C6 D7解析连接BD(图略)，则BDBC2.在BCD中，BCCD2，BCD120，CBD30，ABD1203090，S四边形ABCDSABDSBDCABBDBC2sin 1204245.故选B.答案B例2在ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别是a，b，c.已知c2，C.若增加条件sin B2sin A
4、，能求ABC的面积吗？解析能求由正弦定理，得b2a，联立得方程组解得a，b(负值舍去)，所以ABC的面积Sabsin C.延伸探究1.此题前提条件不变，若增加的条件变为ab6，能确定ABC的面积吗？解析：能确定c2a2b22abcos C(ab)23ab，ab，Sabsin C.2此题前提条件不变，增加的条件改为：若ABC的面积为，求a，b.解析：由余弦定理，得a2b2ab4，又ABC的面积等于，所以absin C，得ab4，联立得方程组解得a2，b2(负值舍去)方法技巧三角形面积计算的依据和解题策略(1)依据：一般用公式Sabsin Cbcsin Aacsin B进行求解(2)解题策略：若所
5、求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积；若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解探究二三角形中线段长度、角度的计算阅读教材P20第13题ABC中，求证：BC边上的中线长ma .证明：根据余弦定理，得cos B，m2c22ccos B2c2ac2a24c22(a2c2b2)22(b2c2)a2所以ma .例3如图，在ABC中，AB2，cos B，点D在线段BC上(1)若ADC，求AD的长；(2)若BD2DC，ADC的面积为，求的值解析(1)在三角形ABD中，cos B，sin B.由正弦定理得，又AB2，AD
6、B，sin B.AD.(2)BD2DC，SABD2SADC，SABC3SADC，又SADC，SABC4，SABCABBCsinABC，BC6，SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD，SABD2SADC，2，在ABC中，由余弦定理得：AC2AB2BC22ABBCcosABC，AC4，24.方法技巧正、余弦定理在几何计算中的应用技巧(1)抓住条件及待求式子的特点，恰当选择定理(2)正弦定理常用来边角互化，余弦定理常用来联系三边的关系求边或角(3)正确挖掘图形中的几何条件，简化运算跟踪探究1.在ABC中，AB7，AC6，M是BC的中点，AM4，则BC等于()A. BC. D.解析
7、：设BCa，则BMMC.在ABM中，AB2BM2AM22BMAMcosAMB，即72a24224cosAMB.在ACM中，AC2AM2CM22AMCMcosAMC即6242a224cosAMC.得：72624242a2，因为a0，所以a.答案：B探究三三角形中边角关系式的证明与变换阅读教材P18例9证明思路：从左右，利用正、余弦定理，边角例4在ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c.求证：.证明法一：由余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，得a2b2b2a22c(acos Bbcos A)，即a2b2c(acos Bbcos A)，变形，得cos Bcos
8、 A.由正弦定理，得，.法二：cos Bcos A.，cos B，cos A，代入上式，得.等式成立例5在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，4sin2cos 2A.(1)求A的度数；(2)若a，bc3，求b和c的值解析(1)由4sin2cos 2A及ABC180，得21cos(BC)2cos2A1，4(1cos A)4cos2A5，即4cos2A4cos A10，(2cos A1)20，解得cos A.0A180，A60.(2)由余弦定理，得cos A.cos A，化简并整理，得(bc)2a23bc，将a，bc3代入上式，得bc2.则由解得或方法技巧(1)对于边角关系的恒等式的证明
9、，要分析等式的特征及等价形式，理清边与角的分布，采取从左证到右，或从右证到左，依据化简边化角、角化边的原则证明(2)对于边角关系式的变换三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解跟踪探究2.在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若cos C2cos B，则()A. BC4 D2解析：法一：在ABC中，因为cos C2cos B，即bcos Cccos B2b，由余弦定理可得bc2b，所以，故选B.法二：在ABC中，因为cos C2cos B，所以由正弦定理得cos C2cos B，整理得sin Bco
10、s Ccos Bsin C2sin B，所以sin A2sin B，再由正弦定理可得，故选B.答案：B授课提示：对应学生用书第14页课后小结三角形面积的求解思路(1)求三角形面积时，由于三角形面积公式有不同形式，因此实际使用时要结合题目的条件灵活运用，必须在两边及其夹角都已知或能求出的前提下才能使用(2)计算三角形面积时，若选择公式后有未知的边或角，应先利用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算边角关系混合的解题思路对于给出的条件是边角关系混合在一起的问题，一般运用正弦定理和余弦定理，把它统一为边的关系或把它统一为角的关系再利用三角形的有关知识、三角恒等变换方法、代数恒等变换方法等进行转
11、化、化简，从而得出结论素养培优与三角形有关的传统文化1用所学知识证明海伦公式，并探究用海伦公式表示三角形内切圆的半径和各边上的高证明：(1)根据余弦定理，得cos C，由同角三角函数之间的关系得，sin C，代入Sabsin C，得Sab，p(abc)，(bca)pa，(acb)pb，(bac)pc.代入可证得S.(2)三角形的面积S与三角形内切圆半径r之间有关系式S2prpr，其中p(abc)，所以r.(3)根据三角形面积公式Saha，得ha，即ha.同理，hb，hc.2我国南宋著名数学家秦九韶发现了与海伦公式等价的从三角形三边求面积的公式，称为“三斜求积”，在他的著作数书九章中的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积”若设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则ABC的面积S.若a2sin C4sin A，(ac)212b2，则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为()A.B2C3 D.解析：根据正弦定理，由a2sin C4sin A，得ac4.再结合(ac)212b2，得a2c2b24，则S，故选A.答案：A
