1、第一章三角函数16三角函数模型的简单应用A组学业达标1.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s6sin,那么单摆来回摆动一次所需的时间为()A2 sB sC0.5 s D1 s解析:单摆来回摆动一次所需的时间为函数s6sin的周期又因为T1,所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s,故选D.答案:D2商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,“五一”期间某一天商场的人流量满足函数F(t)504sin(t0),则人流量增加的时间段是()A0,5 B5,10C10,15 D15,20解析:由2k2k,kZ,知函数F(t)的单调递增区间为4k,4k,k
2、Z.当k1时,t3,5因为10,153,5,故选C.答案:C3设yf(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数,其中0t24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系:t/时03691215182124y/米1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察,函数yf(t)的图象可以近似地看成函数ykAsin(t)的图象下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是()Ay123sint,t0,24By123sin,t0,24Cy123sint,t0,24Dy123sin,t0,24解析:在给定的四个选项中,我们不妨代入t0及t3,容易
3、看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是选项A,故选A.答案:A4.如图所示的是一半径为3 m的圆形水轮,水轮的中心O距离水面2 m,已知水轮自点B开始旋转,15 s旋转一圈,水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系式yAsin(x)2,则有()A,A3 B,A3C,A5 D,A5解析:T15,.显然ymaxymin6,A3.答案:A5.如图所示,一个单摆以OA为始边,OB为终边的角()与时间t(s)满足函数关系式sin,t0,),则当t0时,角的大小及单摆频率是()A2, B.,C., D2,解析:当t0时,sin,由函数解析式易知单摆周期为,故单摆频率为.答案:B6已知
4、某种交流电电流i(A)随时间t(s)的变化规律可以用函数i5sin,t0,)表示,则这种交流电电流在0.5 s内往复运行_次解析:周期T(s),频率为每秒50次,0.5秒往复运行25次答案:257据市场调查,某种商品每件的售价按月份x呈f(x)Asin(x)B的模型波动,已知3月份达到最高价8千元,7月份价格最低为4千元,则f(x)_,x1,2,12.解析:由题意得解得周期T2(73)8,f(x)2sin6.又当x3时,y8,82sin6.sin1.|0,0),x0,4的图象,且图象的最高点为S(3,2);赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全,限定MNP120,则M,P两点间的
5、距离为_km.解析:依题意,有A2,3.又因为T,所以,所以y2sinx,x0,4当x4时,y2sin3,所以M(4,3)又因为P(8,0),所以|MP|5(km),即M,P两点间的距离为5 km.答案:514某城市一年中12个月的平均气温y与月份x的关系可近似地用函数yaAcos(x1,2,3,12)来表示已知6月份的月平均气温最高,为28 ,12月份的月平均气温最低,为18 ,则10月份的平均气温为_.解析:根据题意得28aA,18aAcosaA,解得a23,A5,所以y235cos.令x10,得y235cos235cos20.5.答案:20.515.如图,为一个缆车示意图,该缆车半径为4
6、.8 m,圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动角到OB,设点B与地面距离是h.(1)求h与之间的函数解析式;(2)设从OA开始转动,经过t s后到达OB,求h与t之间的函数解析式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少解析: (1)以圆心O为原点,建立如图所示的坐标系,则以Ox为始边,OB为终边的角为,故点B坐标为.h5.64.8sin.(2)点A在圆上转动的角速度是,故t s转过的弧度数为.h5.64.8sin,t0,)到达最高点时,h10.4 m.由sin1,得t,t30.缆车到达最高点时,用的最少时间是30 s.16某港口水的
7、深度y(m)是时间t(0t24,单位:h)的函数,记作y f(t),下面是某日水深的数据:t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经长期观察,yf(t)的曲线可以近似地看成函数yAsin xb的图象(1)试根据以上数据,求出函数yf(t)的近似表达式;(2)一般情况下,船舶航行时船底离海底的距离为5 m或5 m以上时是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可)某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5 m,如果该船希望在同一天内安全进出港,请问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?解析:(1)由已知数据,易知函数yf(t)的周期T12,振幅A3,b10,y3sint10.(2)由题意,该船进出港时,水深应不小于56.511.5(m),3sint1011.5,sint,解得2kt2k(kZ),即12k1t12k5(kZ),在同一天内,取k0或k1,1t5或13t17.该船可在当日凌晨1时进港,下午17时出港,在港口内最多停留16个小时