1、选修11模块综合测试(一)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1若命题p：xR,2x210，则p是()AxR,2x210BxR,2x210CxR,2x210成立的一个充分不必要条件是()A. 1x1B. x1或0x1D. x1解析：本题主要考查充要条件的概念、简单的不等式的解法画出直线yx与双曲线y的图像，两图像的交点为(1,1)、(1，1)，依图知x01x1(*)，显然x1(*)；但(*)x1，故选D.答案：D32014西安模拟命题“若ab，则a1b”的逆否命题是()A若a1b，则abB若a1bC若a1b，则abD若a1b，则ab，则a1b”的逆
2、否命题为“若a1b，则ab”，故选C.答案：C42014山东省日照一中模考下列命题中，为真命题的是()A. xR，x2x10B. ，R，sin()0”为真命题，即0，即a240，解得2a0，b0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值范围是()AeB1e2D1ea，2.答案：C8已知二次函数f(x)ax2bxc的导数为f(x)，f(0)0，对于任意实数x都有f(x)0，则的最小值为()A. 3B. C. 2 D. 解析：f(x)2axb，f(0)0，b0.f(x)0，a0，b24ac0，即b24ac.c0.112，即所求的最小值为2.答案：C92014山东高考已知ab0
3、，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()A. xy0B. xy0C. x2y0 D. 2xy0解析：椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以，所以a4b4a4，即a44b4，所以ab，所以双曲线C2的渐近线方程是yx，即xy0.答案：A102014黑龙江质检下列四个图像中，有一个是函数f(x)x3ax2(a24)x1(aR，a0)的导函数yf(x)的图像则f(1)()A. B. C. D. 1解析：f(x)x3ax2(a24)x1(aR，a0)，f(x)x22ax(a24)，由a0，结合导函数yf(x)的图像，知导函数图像为，从而可知
4、a240，解得a2或a2，再结合a0知a2，代入可得函数f(x)x3(2)x21，可得f(1)，故选C.答案：C11已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|AF|，则AFK的面积为()A4B8C16D32解析：抛物线C：y28x的焦点为F(2,0)，准线为x2，K(2,0)设A(x0，y0)，如右图所示，过点A向准线作垂线，垂足为B，则B(2，y0)|AK|AF|，又|AF|AB|x0(2)x02，由|BK|2|AK|2|AB|2，得y(x02)2，即8x0(x02)2，解得x02，y04.AFK的面积为|KF|y0|448，故选B.答案：B122013浙江
5、高考如图，F1、F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A. B. C. D. 解析：本题考查椭圆、双曲线的定义和简单的几何性质设双曲线的方程为1(a0，b0)，点A的坐标为(x0，y0)由题意a2b23c2，|OA|OF1|，解得x，y，又点A在双曲线C2上，代入得，b2a2a2b2，联立解得a，所以e，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知函数f(x)x4bx7(b为常数)，g(x)f(x)，且g(1)1，则b_.解析：f(x)x4bx7，f(x)4x3b.
6、又g(x)f(x)，g(x)4x3b，则g(1)4b1，b3.答案：314已知命题p：xR，x22axa0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是_解析：p是假命题，则p为真命题，p为：xR，x22axa0，所以有4a24a0，即0a1.答案：(0,1)15向高为8 m，底面边长为8 m的倒置正四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟 m3，则当水深为5 m时，水面上升的速度为_解析：设注水t min时，水的深度为h m，则容器内的体积为th2h，则h2，所以h(t).当h5时，t，故vh() m/min.答案： m/min162014河北省邢台一中月考F1、F2分别是双曲线1的左、右焦点，P为双
7、曲线右支上一点，I是PF1F2的内心，且SIPF2SIPF1SIF1F2，则_.解析：本题主要考查双曲线定义及标准方程的应用设PF1F2内切圆的半径为r，则SIPF2SIPF1SIF1F2|PF2|r|PF1|r|F1F2|r|PF1|PF2|F1F2|，根据双曲线的标准方程知2a2c，.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)已知全集UR，非空集合Ax|0，Bx|(xa)(xa22)0命题p：xA，命题q：xB.(1)当a时，p是q的什么条件？(2)若q是p的必要条件，求实数a的取值范围解：(1)Ax|0x|2x3，当a时，Bx|xa，故Ba|ax0，设p：ycx为减函数；
8、q：函数f(x)x在x，2上恒成立，若“pq”为真命题，“pq”为假命题，求c的取值范围解：由ycx为减函数，得0c1.当x，2时，由不等式x2(x1时取等号)知：f(x)x在，2上的最小值为2，若q真，则.若p真q假，则0c1且c，所以0，所以c1.综上：c(0，1，)19(12分)2014石家庄模拟已知函数f(x)exax1(e为自然对数的底数)(1)当a1时，求过点(1，f(1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)x2在(0,1)上恒成立，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)exx1，f(1)e，f(x)ex1，f(1)e1，所以函数f(x)在点(1，f(1)处
9、的切线方程为ye(e1)(x1)，即y(e1)x1.设切线与x，y轴的交点分别为A，B，令x0，得y1，令y0，得x，所以A(，0)，B(0，1)，SOAB1.所以函数f(x)在点(1，f(1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为.(2)由f(x)x2(x(0,1)得，a，令h(x)x，则h(x)1，令k(x)x1ex，则k(x)1ex，因为x(0,1)，所以k(x)1ex0，k(x)在(0,1)上为减函数，所以k(x)k(0)0.又x10，所以h(x)0，所以h(x)在(0,1)上为增函数，h(x)h(1)2e，因此只需a2e即可满足题意，所以a的取值范围为2e，)20(12分)已知椭圆1，
10、F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点A(1,1)为椭圆内一点，点P为椭圆上一点求|PA|PF1|的最大值解：由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a6，所以|PF1|6|PF2|，这样|PA|PF1|6|PA|PF2|.求|PA|PF1|的最大值问题转化为6|PA|PF2|的最大值问题，即求|PA|PF2|的最大值问题，如图在PAF2中，两边之差小于第三边，即|PA|PF2|b0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点当OPQ的面积最大时，求l的方程解：(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2
11、c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1.2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d.所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.22(12分)2014山西四校联考已知f(x)lnxxa1.(1)若存在x(0，)使得f(x)0成立，求a的范围；(2)求证：当x1时，在(1)的条件下，x2axaxlnx成立解：f(x)lnxxa1(x0)(1)原题即为存在x使得lnxxa10，alnxx1，令g(x)lnxx1，则g(x)1.令g(x)0，解得x1.当0x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)为增函数，g(x)ming(1)0.ag(1)0.a0.(2)原不等式可化为x2axxlnxa0(x1，a0)令G(x)x2axxlnxa，则G(1)0.由(1)可知xlnx10，则G(x)xalnx1xlnx10，G(x)在(1，)上单调递增，G(x)G(1)0成立，x2axxlnxa0成立
