1、习题课:机械能守恒定律的应用课后篇巩固提升基础巩固1.如图所示,质量为m和3m的小球A和B,系在长为L的细线两端,桌面水平光滑,高h(hL),B球无初速度从桌边滑下,落在沙地上静止不动,则A球离开桌边的速度为()A.3gh2B.2ghC.gh3D.gh6解析A、B组成的系统机械能守恒,则有3mgh=12(m+3m)v2,解得v=3gh2,选项A正确。答案A2.如图所示,可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接,跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱,A的质量为B的两倍。当B位于地面时,A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放,B上升的最大高度是()A.2RB.5R3C.4R3D.2R3解析设A、B
2、的质量分别为2m、m,当A落到地面,B恰运动到与圆柱轴心等高处,以A、B整体为研究对象,由机械能守恒定律得2mgR-mgR=12(2m+m)v2,当A落地后,B球以速度v做竖直上抛运动,到达最高点时上升的高度为h=v22g,故B上升的总高度为R+h=43R,选项C正确。答案C3.如图所示,物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在光滑轻质定滑轮两侧,物体A、B的质量都为m。开始时细绳伸直,用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h,物体B静止在地面上。放手后物体A下落,与地面即将接触时速度大小为v,此时物体B对地面恰好无压力,不计空气阻力,重力加速度为g,则下列说法正确的是()A.弹簧的劲度系数
3、为mghB.此时弹簧的弹性势能等于mgh+12mv2C.此时物体B的速度大小也为vD.此时物体A的加速度大小为g,方向竖直向上解析由题意可知,此时弹簧所受的拉力大小等于物体B的重力,即F=mg,弹簧伸长的长度为x=h,由F=kx得k=mgh,选项A正确;A与弹簧组成的系统机械能守恒,则有mgh=12mv2+Ep,则弹簧的弹性势能Ep=mgh-12mv2,选项B错误;物体B对地面恰好无压力时,B的速度为零,选项C错误;对A,根据牛顿第二定律有F-mg=ma,又F=mg,得a=0,选项D错误。答案A4.(多选)如图所示,在竖直平面内有一半径为R的四分之一圆弧轨道BC,与竖直轨道AB和水平轨道CD相
4、切,轨道均光滑。现有长也为R的轻杆,两端固定质量均为m的相同小球a、b(可视为质点),用某装置控制住小球a,使轻杆竖直且小球b与B点等高,然后由静止释放,杆将沿轨道下滑。设小球始终与轨道接触,重力加速度为g。则()A.下滑过程中a球和b球组成的系统机械能守恒B.下滑过程中a球机械能守恒C.小球a滑过C点后,a球速度为2gRD.从释放至a球滑过C点的过程中,轻杆对b球做功为12mgR解析对a球和b球组成的系统,没有机械能与其他形式能的转化,因此系统的机械能守恒,选项A正确;对系统根据机械能守恒定律得mg2R+mgR=122mv2,解得v=3gR,选项C错误;对b球由动能定理得W+mgR=12mv
5、2,解得W=12mgR,选项D正确;同理对a球由动能定理得W+mg2R=12mv2,解得W=-12mgR,因此a球的机械能不守恒,选项B错误。答案AD5.(多选)如图所示,将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端,轻绳的另一端系一质量为m的环,环套在竖直固定的光滑直杆上,光滑的轻质定滑轮与直杆的距离为d,杆上的A点与定滑轮等高,杆上的B点在A点下方距离为d处。现将环从A点由静止释放,不计空气阻力,下列说法正确的是()A.环到达B点时,重物上升的高度为d2B.环到达B点时,环与重物的速度大小相等C.环从A到B,环减少的机械能等于重物增加的机械能D.环能下降的最大高度为43d解析环到达B点时,重物上升的
6、高度h=2d-d=(2-1)d,选项A错误;环到达B点时,环沿绳方向的分速度与重物速度大小相等,故环的速度大于重物的速度,选项B错误;因为环与重物组成的系统机械能守恒,所以环减少的机械能等于重物增加的机械能,选项C正确;设环能下降的最大高度为H,此时环与重物的速度均为零,重物上升的高度为h=H2+d2-d,由机械能守恒定律得,mgH=2mg(H2+d2-d),解得H=43d,选项D正确。答案CD6.(多选)(2020安徽阜阳三中模拟)一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B。支架的两直角边长度分别为2l和l,支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动,如图所示。开始时OA边处于
7、水平位置。由静止释放,则()A.A球的最大速度为2glB.A球的速度最大时,两小球的总重力势能最小C.A球第一次转动到与竖直方向的夹角为45时,A球的速度为8(2-1)gl3D.A、B两球的最大速度之比vAvB=31解析由机械能守恒定律可知,A球的速度最大时,二者的动能最大,此时两球总重力势能最小,选项B正确;根据题意知两球的角速度相同,线速度之比为vAvB=2ll=21,故选项D错误;当OA与竖直方向的夹角为时,由机械能守恒得mg2lcos-2mgl(1-sin)=12mvA2+122mvB2,解得vA2=83gl(sin+cos)-83gl,由数学知识知,当=45时,sin+cos有最大值
8、,最大值为vA=8(2-1)gl3,选项A错误,C正确。答案BC7.(2020河南许昌高一下学期期末)如图所示,一轻质竖直弹簧,下端与地面相连,上端与质量为m的物体A相连。弹簧的劲度系数为k,A处于静止状态,此时弹簧的弹性势能为Ep。一条不可伸长的轻绳绕过定滑轮,一端连接物体A,另一端连一轻质挂钩。开始时各段绳子都处于伸直状态,A上方的一段绳子沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m的物体B并从静止状态释放。则当弹簧向上变为原长时,物体A和B的速度大小分别为多少?(已知重力加速度为g)解析没有挂物体B时,设弹簧的压缩量为x,对A,有mg=kx解得x=mgk挂上物体B后,弹簧向上变为原长时,物体A和B
9、的速度大小一样,设为v,从开始运动到弹簧变为原长的过程中,A、B和弹簧组成的系统机械能守恒,有Ep=12(m+m)v2+mgx-mgx解得v=2kEp+mg2(m-m)k(m+m)。答案均为2kEp+mg2(m-m)k(m+m)能力提升1.有一竖直放置的“T”形架,表面光滑,滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上,A、B用一不可伸长的轻细绳相连,A、B质量相等,且可看作质点。如图所示,开始时细绳水平伸直,A、B静止。由静止释放B后,已知当细绳与竖直方向的夹角为60时,滑块B沿着竖直杆下滑的速度为v,则连接A、B的绳长为()A.4v2gB.3v2gC.2v23gD.4v23g解析由运动的合成与分解可
10、知滑块A和B在绳长方向的速度大小相等,有vAsin60=vBcos60,解得vA=33v,将滑块AB看成一系统,系统的机械能守恒,设滑块B下滑的高度为h,有mgh=12mvA2+12mvB2,解得h=2v23g,由几何关系可知绳子的长度为l=2h=4v23g,故选项D正确。答案D2.内壁光滑的环形凹槽半径为R,固定在竖直平面内,一根长度为2R的轻杆,一端固定有质量m的小球甲,另一端固定有质量为2m的小球乙。现将两小球放入凹槽内,小球乙位于凹槽的最低点,如图所示,由静止释放后()A.下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能B.下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能C.甲
11、球可沿凹槽下滑到槽的最低点D.杆从右向左滑回时,乙球一定不能回到凹槽的最低点解析环形槽光滑,甲、乙组成的系统在运动过程中只有重力做功,故系统机械能守恒,下滑过程中甲减少的机械能总是等于乙增加的机械能,甲、乙系统减少的重力势能等于系统增加的动能;甲减少的重力势能等于乙增加的势能与甲、乙增加的动能之和;由于乙的质量较大,系统的重心偏向乙一端,由机械能守恒知,甲不可能滑到槽的最低点,杆从右向左滑回时乙一定会回到槽的最低点。答案A3.(多选)如图所示,轻质弹簧的一端与固定的竖直板P连接,另一端与物体A相连,物体A置于足够长的光滑水平桌面上,A右端连接一细线,细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连。开始时托住
12、B,让A处于静止且细线恰好伸直,然后由静止释放B,直至B获得最大速度。下列有关该过程的分析正确的是()A.A物体与B物体组成的系统机械能守恒B.A物体与B物体组成的系统机械能不守恒C.B物体机械能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量D.当弹簧的拉力等于B物体的重力时,A物体的动能最大解析A物体、弹簧与B物体组成的系统机械能守恒,但A物体与B物体组成的系统机械能不守恒,选项A错误,B正确;B物体机械能的减少量等于A物体机械能的增加量与弹簧弹性势能的增加量之和,故B物体机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量,选项C错误;当弹簧的拉力等于B物体的重力时,A物体的加速度为0,A物体速度最大,A物体的动能最
13、大,选项D正确。答案BD4.(2020河北定州中学模拟)如图所示,A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连,A放在固定的光滑斜面上,B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连,C球放在水平地面上。现用手控制住A,并使细线刚刚拉直但无拉力作用,并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m,B、C的质量均为m,重力加速度为g,细线与滑轮之间的摩擦不计,开始时整个系统处于静止状态。释放A后,A沿斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面。下列说法正确的是()A.斜面倾角=60B.A获得的最大速度为2gm5kC.C刚离开地面时,B的加速度最大D.从释放A到C刚离开地面的过程中,A、
14、B两小球组成的系统机械能守恒解析C刚离开地面时,对C有kx2=mg,此时B有最大速度,即aB=aC=0,则对B有FT-kx2-mg=0,对A有4mgsin-FT=0,由以上方程联立可解得sin=12,=30,选项A错误;初始时系统静止,且线上无拉力,对B有kx1=mg,可知x1=x2=mgk,则从释放A至C刚离开地面时,弹性势能变化量为零,由机械能守恒定律得4mg(x1+x2)sin=mg(x1+x2)+12(4m+m)vBm2,由以上方程联立可解得vBm=2gm5k,所以A获得的最大速度为2gm5k,选项B正确;对B球进行受力分析可知,刚释放A时,B所受合力最大,此时B具有最大加速度,选项C
15、错误;从释放A到C刚离开地面的过程中,A、B、C及弹簧组成的系统机械能守恒,A、B两小球组成的系统机械能不守恒,选项D错误。答案B5.(2020江苏启东中学高一下学期期中)如图所示,光滑管状轨道ABC由直轨道AB和圆弧形轨道BC组成,二者在B处相切并平滑连接,O为圆心,O、A在同一条水平线上,OC竖直,一直径略小于圆管直径的质量为m的小球,用细线穿过管道与质量为M的物块连接,物块距离地面足够高,将小球由A点静止释放,当小球运动到B处时细线断裂,小球继续运动。已知弧形轨道的半径为R=83 m,所对应的圆心角为53,sin 53=0.8,cos 53=0.6,g取10 m/s2。(1)若M=5m,
16、求小球运动到B处时的速度大小;(2)若M=5m,求小球从C点抛出后下落高度h=43 m时到C点的水平位移;(3)M、m满足什么关系时,小球能够运动到C点?解析(1)小球从A到B:M、m系统机械能守恒12(M+m)v2=MgxAB-mgxABsin53在RtOAB中,得xAB=Rtan53,解得v=27m/s;(2)小球从B到C,根据机械能守恒有,12mv2=12mvC2+mgR(1-cos53)小球离开C后做平抛运动,x=vCth=12gt2解得x=43m;(3)小球从A到B:M、m组成的系统机械能守恒12(M+m)vB2=MgxAB-mgxABsin53细线断裂后,小球从B到C,vC012mvC2-12mvB2=-mgR(1-cos53)联立解得M207m。答案(1)27 m/s(2)43 m(3)M207 m
