1、2016-2017学年福建省福州市八县（市）一中联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上.1已知M=x|0x2，N=x|y=，则MN=（）Ax|0x2Bx|1x2Cx|x0Dx|x12复数z与复数i（12i）互为共轭复数，则z=（）A2+iB2iC2iD2+i3已知命题p：xR，sinx+cosx，命题q：xR，x20，则（）A命题pq是假命题B命题pq是真命题C命题p（q）是假命题D命题p（q）是真命题4已知等差数列an中，若a2=1，a4=5，则S
2、5=（）A7B13C15D175若a=20.5，b=ln2，c=2，则（）AabcBbacCcabDbca6函数y=4sin（x+）（0，|）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A=，=B=1，=C=，=D=1，=7已知函数f（x）=，则不等式f（x）2的解集为（）Ax|2x8Bx|2x2Cx|2x8Dx|x88M是ABC所在平面内一点，D为BC中点，则的值为（）AB1C2D39已知p=a+，q=b22b+3（bR），则p，q的大小关系为（）ApqBpqCpqDpq10为得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度
3、C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度11已知函数f（x）=|2x1|，abc，且f（a）f（c）f（b），则下列结论中，一定成立的是（）A2a+2c2B2a2cCa0，b0，c0Da0，b0，c012设f（x）是定义在R上的增函数，且对任意x，都有f（x）+f（x）=0恒成立，如果实数x，y满足不等式f（x26x）+f（y24y+12）0，那么的最大值是（）A1B2CD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上.13已知向量=（+1，1），=（4，2），若，则=14已知x，y满足约束条件，则z=4xy的最小值为15已知Sn为等比数列an的前n项和，an0，
4、S5=2，S15=14，则S10=16给出下列命题：已知xR，则“x1”是“x2”的充分不必要条件；若|+|=|，则存在实数，使得=；命题p：“xR，exx+1”的否定是“xR，exx+1”；方程x=sinx有且只有一个实数解；函数f（x）=4cos（2x+）的一个对称中心为其中正确命题的序号是 （把你认为正确的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卡各自题目的答题区域内作答.17已知正项数列an的前n项和为Sn，且Sn，an，成等差数列（1）证明数列an是等比数列；（2）若bn=log2an+3，求数列的前n项和Tn18已知向量=（
5、sinx，cosx），=（cosx，cosx），f（x）=，（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若x（），=，求cos2x的值19围建一个面积为300m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙足够长，利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为75元/m，新墙的造价为150元/m，设利用的旧墙的长度为xm（x0）（1）将总费用y元表示为xm的函数；（2）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求最小总费用20在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足bcosA=（2ca）cosB（1）求
6、角B的大小；（2）若b=4=4，求a+c的值21等比数列an的前n项和为Sn，且a2=3，a5=81，等差数列bn的前n项和为Tn，Tn=n（1）求数列an，bn的通项公式；（2）若对任意的nN*，bn恒成立，求实数k的取值范围22已知函数f（x）=alnx+x2 （a为常数）（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；（2）当x（1，e时，讨论方程f（x）=0根的个数；（3）若a0，且对任意的x1，x2且x1x2，都有|f（x1）f（x2）|，求实数a的取值范围2016-2017学年福建省福州市八县（市）一中联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题
7、5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上.1已知M=x|0x2，N=x|y=，则MN=（）Ax|0x2Bx|1x2Cx|x0Dx|x1【考点】交集及其运算【分析】先求出集合M，N，由此能求出MN【解答】解：M=x|0x2，N=x|y=x|x1，MN=x|1x2故选：B2复数z与复数i（12i）互为共轭复数，则z=（）A2+iB2iC2iD2+i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简i（12i），再由复数z与复数i（12i）互为共轭复数，即可求出答案【解答】解：i（12i）=i2i2=2+i
8、，复数z与复数i（12i）互为共轭复数，z=2i故选：C3已知命题p：xR，sinx+cosx，命题q：xR，x20，则（）A命题pq是假命题B命题pq是真命题C命题p（q）是假命题D命题p（q）是真命题【考点】命题的真假判断与应用【分析】先分析命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案【解答】解：sinx+cosx=sin（x+），故命题p：xR，sinx+cosx，为真命题；当x=0时，x2=0，故命题q：xR，x20，为假命题；故命题pq是真命题，命题pq是假命题，命题p（q）是真命题，命题p（q）是真命题，故选：D4已知等差数列an中，若a2=1，a4=5，则S5=（
9、）A7B13C15D17【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的通项公式性质及其求和公式即可得出【解答】解：由等差数列的性质可得：S5=15故选：C5若a=20.5，b=ln2，c=2，则（）AabcBbacCcabDbca【考点】对数值大小的比较【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：a=20.51，b=ln2（0，1），c=20，abc故选：A6函数y=4sin（x+）（0，|）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A=，=B=1，=C=，=D=1，=【考点】正弦函数的图象【分析】结合图象，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式【解答】解：
10、由函数的图象可得=，=再根据五点法作图可得+=0，求得=，故选：C7已知函数f（x）=，则不等式f（x）2的解集为（）Ax|2x8Bx|2x2Cx|2x8Dx|x8【考点】其他不等式的解法【分析】结合分段函数的各段的解析式得到不等式组分别解之【解答】解：结合分段函数各段的解析式得到不等式组为或，解得或，所以2x2或2x8，所以原不等式的解集为x|2x8；故选C8M是ABC所在平面内一点，D为BC中点，则的值为（）AB1C2D3【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】由已知向量等式得到M为ABC 的重心，由此得到所求【解答】解：由已知M是ABC所在平面内一点，得到M为ABC 的重心，则=3；故
11、选D9已知p=a+，q=b22b+3（bR），则p，q的大小关系为（）ApqBpqCpqDpq【考点】不等式比较大小【分析】利用基本不等式的性质、二次函数的单调性即可得出【解答】解：a2，p=a+=（a2）+2+2=4，当且仅当a=3时取等号q=b22b+3=（b+1）2+44，当且仅当b=1时取等号pq故选：A10为得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用诱导公式、函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：将函数
12、y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得y=sin2（x+）=sin（2x+）=cos（2x+）的图象，故选：A11已知函数f（x）=|2x1|，abc，且f（a）f（c）f（b），则下列结论中，一定成立的是（）A2a+2c2B2a2cCa0，b0，c0Da0，b0，c0【考点】不等式比较大小【分析】根据函数在区间（，0）上是减函数，结合题设可得D不正确；根据函数的解析式，结合举反例的方法，可得到B、C不正确；利用函数的单调性结合函数的解析式，对ac且f（a）f（c）加以讨论，可得A是正确的由此不难得到正确选项【解答】解：对于A，因为ac，且f（a）f（c），说明可能如下情况成立：（i）a
13、、c位于函数的减区间（，0），此时abc0，可得f（a）f（b）f（c）与题设矛盾；（ii）a、c不在函数的减区间（，0），则必有a0c，所以f（a）=12a2c1=f（c），化简整理，得2a+2c2成立对于B，取a=0，c=3，同样f（c）=f（3）=7为最大值，与题设矛盾，故B不正确；对于C，若a0，b0，c0，可设a=1，b=2，c=3，此时f（c）=f（3）=7为最大值，与题设矛盾，故C不正确；对于D，若a0，b0，c0，因为abc，所以abc0，而函数f（x）=|2x1|在区间（，0）上是减函数，故f（a）f（b）f（c），与题设矛盾，所以D不正确；综上所述，可得只有A正确故选A12
14、设f（x）是定义在R上的增函数，且对任意x，都有f（x）+f（x）=0恒成立，如果实数x，y满足不等式f（x26x）+f（y24y+12）0，那么的最大值是（）A1B2CD【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】由条件利用函数的奇偶性、单调性可得 （x3）2+（y2）21，表示以（3，2）为圆心、半径等于1的圆及其内部区域而的表示圆内的点（x，y）与点（0，2）连线的斜率，求出该圆的切线斜率，可得结论【解答】解：对任意x，都有f（x）+f（x）=0恒成立，即f（x）=f（x）恒成立，故函数f（x）为奇函数根据f（x）是定义在R上的增函数，f（x26x）+f（y24y+12）0，可得 f（x26x）
15、f（y24y+12）=f（y2+4y12），即 x26xy2+4y12，即x26x+y24y+120，即 （x3）2+（y2）21，表示以（3，2）为圆心、半径等于1的圆及其内部区域而的表示圆内的点（x，y）与点（0，2）连线的斜率，设过点（0，2）的圆的切线的斜率为k，则切线方程为y2=k（x0），即kxy+2=0，根据圆心（3，2）到切线的距离等于半径，可得=1，求得k=，可得的最大值为，故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上.13已知向量=（+1，1），=（4，2），若，则=3【考点】平行向量与共线向量【分析】由向量共线可得（2）（+1）41
16、=0，解之即可【解答】解：向量=（+1，1），=（4，2），（2）（+1）41=0，解得=3故答案为：314已知x，y满足约束条件，则z=4xy的最小值为【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=4xy得y=4xz，平移直线y=4xz，由图象可知当直线y=4xz经过点C时，此时z最小，由，解得，即C（，），此时z=4=，故答案为：15已知Sn为等比数列an的前n项和，an0，S5=2，S15=14，则S10=6【考点】等比数列的前n项和【分析】由等比数列an的性质可得：S5，S10S5，S15S10，
17、成等比数列，即可得出【解答】解：由等比数列an的性质可得：S5，S10S5，S15S10，成等比数列，=2（14S10），S100解得S10=6故答案为：616给出下列命题：已知xR，则“x1”是“x2”的充分不必要条件；若|+|=|，则存在实数，使得=；命题p：“xR，exx+1”的否定是“xR，exx+1”；方程x=sinx有且只有一个实数解；函数f（x）=4cos（2x+）的一个对称中心为其中正确命题的序号是 （把你认为正确的序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用【分析】满足x1的数不一定满足x2；由|+|=|2=|=2|，则得、反向共线；“”的否定是“”；在x（0，）时，xsinx，
18、函数y=x与y=sinx有且只有一个交点；f（）=1，【解答】解：对于 ，满足x1的数不一定满足x2，故错；对于，由|+|=|2=|=2|，则得、反向共线，故正确；对于，“”的否定是“”，故错；对于，在x（0，）时，xsinx，函数y=x与y=sinx有且只有一个交点，故正确；对于，f（）=1，不是f（x）=4cos（2x+）的一个对称中心故错；故答案：三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卡各自题目的答题区域内作答.17已知正项数列an的前n项和为Sn，且Sn，an，成等差数列（1）证明数列an是等比数列；（2）若bn=log2an+3，求数列
19、的前n项和Tn【考点】数列的求和【分析】（1）由题意得2an=Sn+，易求，当n2时，Sn=2an，Sn1=2an1，两式相减得an=2an2an1（n2），由递推式可得结论；（2）由（1）可求=2n2，从而可得bn，进而有=，利用裂项相消法可得Tn；【解答】解：（1）证明：由Sn，an，成等差数列，知2an=Sn+，当n=1时，有，当n2时，Sn=2an，Sn1=2an1，两式相减得an=2an2an1（n2），即an=2an1，由于an为正项数列，an10，于是有=2（n2），数列an从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2，数列an是以为首项，以2为公比的等比数列（2）解：由（1
20、）知=2n2，bn=log2an+3=n+1，=，Tn=（）+（）+（）=18已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），f（x）=，（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若x（），=，求cos2x的值【考点】平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性【分析】（1）进行数量积的坐标运算，并化简即可得出，从而得出f（x）的最小正周期，而通过解，kZ即可得出f（x）的单调递增区间；（2）根据条件即可求得，而根据x的范围可求得的范围，进而求出的值，从而由即可求出cos2x的值【解答】解：（1）=；f（x）的最小正周期为；解（kZ）得，kZ；f（x）的单调递增区间为；（2）；=
21、19围建一个面积为300m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙足够长，利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为75元/m，新墙的造价为150元/m，设利用的旧墙的长度为xm（x0）（1）将总费用y元表示为xm的函数；（2）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求最小总费用【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）设矩形的另一边长为am，然后列出总费用y元表示为xm的函数关系（2）利用（1）函数的解析式，通过基本不等式求解，修建围墙的总费用的最小值【解答】（本小题满12分）解：（1）设矩形的另一边长为a
22、m，则y=75x+150（x2）+1502a=225x+300a300由已知xa=300，得（2）x0，当且仅当即x=20时，等号成立答：当x=20m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是8700元20在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足bcosA=（2ca）cosB（1）求角B的大小；（2）若b=4=4，求a+c的值【考点】平面向量数量积的运算【分析】（1）由正弦定理把已知等式化边为角，利用两角和的正弦化简即可求得角B的大小；（2）由数量积为4可得ac的值，再由余弦定理整体运算求得a+c的值【解答】解：（1）bcosA=（2ca）cosB，由正弦定理得sinBcosA=2si
23、nCcosBsinAcosB，即sin（A+B）=2sinCcosB=sinC，sinC0，cosB=又B（0，），B=；（2），cacosB=4，得ac=8由余弦定理得b2=a2+c22accosB=a2+c2ac=（a+c）23ac=（a+c）224=1621等比数列an的前n项和为Sn，且a2=3，a5=81，等差数列bn的前n项和为Tn，Tn=n（1）求数列an，bn的通项公式；（2）若对任意的nN*，bn恒成立，求实数k的取值范围【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（1）设数列an的公比为q，由题意和等比数列的性质求出q，由等比数列的通项公式求出an，由题意、数列的通项公式与前n
24、项和的关系求出bn；（2）解法一：由（1）和等比数列的前n项和公式求出a1、Sn，代入恒成立的式子化简并分离出k，令，利用列不等式组求出cn的最大值，即可求出k的范围；解法二：由（1）和等比数列的前n项和公式求出a1、Sn，代入恒成立的式子化简并分离出k，令，利用作差法判断出数列cn的单调性，求出cn的最大值，即可求出k的范围【解答】解：（1）设数列an的公比为q，由题意得，Tn=n，当n2时，当n=1时，也适合上式 综上得，（2）解法 一：由（1）得，由条件得，对nN*恒成立，对nN*恒成立 令，设，则，解得2.5n3.5，则n=3，即实数k的取值范围是解法二：由（1）得，由条件得，对nN*
25、恒成立，对nN*恒成立令，当n3时，cncn1，当n4时，cncn1则，即实数k的取值范围是22已知函数f（x）=alnx+x2 （a为常数）（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；（2）当x（1，e时，讨论方程f（x）=0根的个数；（3）若a0，且对任意的x1，x2且x1x2，都有|f（x1）f（x2）|，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（1）根据导数和函数的单调性的关系即可求出；（2）把原函数f（x）=alnx+x2求导，分a0和a0讨论打哦函数的单调性，特别是当a0时，求出函数f（x）在1，e上的最小值及端点处的函数值，然后根据最小值和F（e）的值的符号讨论在x
26、1，e时，方程f（x）=0根的个数；（3）问题转化为等价于函数h（x）=f（x）+在时是减函数，结合函数的单调性得到a2x2，求出a的范围即可【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=2lnx+x2，定义域为（0，+），f（x）=+2x=，当f（x）0，解得0x1，当f（x）0，解得x1，f（x）得单调递减区间为（0，1），递增区间为（1，+）（2）方程f（x）=0根的个数等价于方程a=根的个数设g（x）=，g（x）=，当x（1，）时，g（x）0，函数g（x）递减，当x（，e时，g（x）0，函数g（x）递增又g（e）=e2，g（）=2e，作出y=g（x）与直线y=a的图象如图，由图象知：当2eae2时，即e2a2时，方程f（x）=0有2个相异的根；当ae2或a=2e时，方程f（x）=0有1个根； 当a2e时，方程f（x）=0有0个根（3）当a0时，f（x）在上是增函数，又函数y=是减函数，不妨设，则等价于，即，令h（x）=f（x）+，h（x）=+2x0恒成立，即a2x2在时恒成立，设（x）=2x2，在时是减函数，又a0，实数a的取值范围是（0，2016年12月18日
