1、第3课时复数的四则运算(2) 教学过程一、 问题情境在实数中,除法运算是乘法的逆运算.类似地,可以怎样定义复数的除法运算?二、 数学建构问题1复数的除法法则是什么?解设复数a+bi(a,bR)除以c+di(c,dR),其商为x+yi(x,yR),其中c+di0,即(a+bi)(c+di)=x+yi.因为(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i,所以(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi.由复数相等的定义可知 解这个方程组,得于是有(a+bi)(c+di)=+i.由于c+di0,所以c2+d20,可见两个复数的商仍是一个复数.利用待定系数法和等价转化的思想来推导除法法则,最
2、后再利用两个复数相等的定义解.问题2初中我们学习的化简无理分式时,采用的分母有理化的思想方法,而c+di的共轭复数是c-di,能否模仿分母有理化的方法对复数商的形式进行分母实数化?解=+i.所以(a+bi)(c+di)=+i.三、 数学运用【例1】i+i2+i3+i2 010+i2 011+i2 012.1(见学生用书P57)处理建议in是周期出现的,in+in+1+in+2+in+3=0(nN*).规范板书解原式=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+(i2 009+i2 010+i2 011+i2 012)=0.题后反思可能有学生考虑用等比数列求和公式.原式=0,这个方法也
3、很好.变式计算i+2i2+3i3+1 997i1 997.规范板书解原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+(9i-10-11i+12)+(1993i-1994-1995i+1996)+1 997i=499(2-2i)+1 997i=998+999i.【例2】(教材第116页例4)设=-+i,求证:(1) 1+2=0; (2) 3=1;(3) 2=,=.2(见学生用书P57)处理建议先计算2,再做加法.规范板书证明(1) 1+2=1+=+i+-2i+=+i+-i-=0. (2) 3=+3i+3+=-+i+-i=+i=1.(3) =1,由(2)知2=,同理=.题后反思对于第(2)小题
4、,也可以这样做,要证3=1,只要证3-1=0即可.由3-1=(-1)(2+1)=(-1)0=0,由此可知,1有3个立方根:1,.变式设z=+i,求证:(1) 1-z+z2=0;(2) z3=1;(3) z2=-. 规范板书解由例2知 z=+i=-,所以=-.(1) 1-z+z2=1+(-)2=1+=0.(2) z3=(-)3=1.(3) z2=(-)2=-.【例3】计算:(1+2i)(3-4i).3(见学生用书P58)处理建议用两种方法做复数的除法运算.规范板书解法一设(1+2i)(3-4i)=x+yi,所以1+2i=(3-4i)(x+yi),1+2i=(3x+4y)+(3y-4x)i.所以3
5、x+4y=1且3y-4x=2.所以x=-,y=.所以(1+2i)(3-4i)=-+i.解法二(1+2i)(3-4i)=-+i.题后反思解法一根据复数相等的充要条件应用待定系数法求复数,是常用的方法之一;解法二体现了复数问题实数化的基本思想.变式计算.解原式=1-i. *【例4】计算+.4处理建议先计算=-i,再利用in的周期性;对于,不易发现分子与分母的关系,可先启发寻找a+bi与b-ai之间的关系.规范板书解原式=+=-i+(-i)1997=-2i.题后反思在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度.又如(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=-i,=i.变式计算:
6、i2 007+(+i)8-+.解原式=i4501+3+2(1+i)24-+=i3+(4i)4-+i=-i+256+i=256+=256-i.*【例5】已知z2=8+6i,求复数f(z)=z3-16z-的值.5处理建议利用待定系数法,求出z,再代入求f(z).规范板书解设z=x+yi(x,yR),所以由得y=,代入得x2-=8,所以x4-8x2-9=0,所以x2=9或x2=-1(舍去).所以x=3.当x=3时,y=1;当x=-3时,y=-1.所以z=(3+i).当z=3+i时,f(3+i)=(3+i)3-16(3+i)- =33+332i+33i2+i3-48-16i-=27+27i-9-i-4
7、8-16i-30+10i=-60+20i.当z=-3-i时,f(-3-i)=(-3-i)3-16(-3-i)- =-(27+27i-9-i)+48+16i+=60-20i.题后反思通过此例,会求任意一个复数的平方根,会在复数范围内求函数式的值.四、 课堂练习1. 复数-i+=-2i .提示-i+=-i-i=-2i.2. 计算: (1) ;(2) .解(1) =-i.(2) 解法一=i.解法二=i.3. =-i.解=i2 011=i3=-i.4. 在复数范围内写出方程x4=1的根.解x4-1=(x2-1)(x2+1)=(x+1)(x-1)(x+i)(x-i),所以方程x4=1的根为1,-1,i,-i.五、 课堂小结1. 在进行复数四则运算时,我们既要做到会做,会解,更要做到快速解答.在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度,例如:(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=i,=-i;若=-+i,则1+2=0,3=1;=i.2. 在进行复数的四则运算时,容易出现的错误有:(1) 由于对i的性质掌握不准确致误. 如“i2=1”“i4=-1”等在计算中是常见的错误.事实上,i2=-1,i4=1. (2) 在计算除法运算时出错. 因为复数的除法运算是四则运算中最麻烦的一种,常会出现一些计算上的错误.
