1、22等差数列第1课时等差数列的概念和通项公式内容标准学科素养1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，并灵活应用3.掌握等差数列的证明方法.加强概念理解形成逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第23页基础认识知识点一等差数列的概念知识梳理一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零知识点二等差中项如果三个数a，A，b成等差数列，A与a和b之间有什么关系？下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列？(1)2,4；(2)1,5；(
2、3)0,0；(4)a，b.提示：(1)设插入的一个数为x，则x24x，x3； (2)x15x，x2；(3)x00x，x0；(4)xabx，x.知识梳理如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A.思考任何两个数都有等差中项吗？提示：都有且唯一知识点三等差数列的通项公式等差数列能写出通项公式吗？(1)对于等差数列2,4,6,8，有a2a12，即a2a12；a3a22，即a3a22a122；a4a32，即a4a32a132.试猜想ana1()2.提示：n1. (2)对于任一个等差数列an，首项为a1，公差为d.a2a1d，a3a2da1_d，a4a3da1_d，anan1da
3、1_d.提示：23(n1)知识梳理(1)条件：等差数列an的首项为a1，公差为d.(2)通项公式：ana1(n1)d.自我检测1已知等差数列an的首项a12，公差d3，则数列an的通项公式为()Aan3n1Ban2n1Can2n3 Dan3n2答案：A2已知a，b，则a，b的等差中项为_答案：授课提示：对应学生用书第24页探究一等差数列的通项公式及其应用阅读教材P38例1，例2方法步骤：(1)已知a1和d，可求an及各项(2)已知a1和d及an，可求n.例1(1)在等差数列an中，a3a611，a5a839，则公差d为()A14B7C7 D14解析因为a3a611，a5a839，则4d28，解
4、得d7.答案C(2)在等差数列an中，已知a5a1012，则3a7a9()A12 B18C24 D30解析因为在等差数列an中，a5a1012，所以2a113d12，3a7a93(a16d)a18d4a126d2(2a113d)21224.答案C例2在等差数列an中：(1)已知a51，a82，求a1与d；(2)已知a1a612，a47，求a9.解析(1)由题意知解得(2)由题意知解得所以a9a1(91)d18217.方法技巧1求等差数列通项公式的步骤2等差数列通项公式中的四个参数及其关系等差数列的通项公式ana1(n1)d四个参数a1，d，n，an“知三求一”知a1，d，n求an知a1，d，a
5、n求n知a1，n，an求d知d，n，an求a1跟踪探究1.已知递减等差数列an的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断34是该数列的项吗？解析：依题意得解得或数列an是递减等差数列，d0.故取a111，d5.an11(n1)(5)5n16.即等差数列an的通项公式为an5n16.令an34，即5n1634，得n10.34是数列an的第10项探究二等差数列的判定阅读教材P38例3方法步骤：用定义法：判定an1an为与n无关的常数例3判定下列数列是否为等差数列：(1)an3n2；(2)ann2n.解析(1)an1an3(n1)2(3n2)3(常数)，n为任意正整数，所以此数列
6、为等差数列(2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n2(不是常数)，所以此数列不是等差数列例4(1)已知数列an中，a11，a24,2anan1an1(n2，nN*)，当an298时，序号n()A100 B99C96 D101解析因为2anan1an1，所以数列an为等差数列，因为a11，a24，所以公差d3，所以an29813(n1)，解得n100.答案A(2)已知数列an满足a14，an4(n1)，记bn.求证：数列bn是等差数列证明因为bn1bn.又b1.所以数列bn是首项为，公差为的等差数列方法技巧跟踪探究2.已知等差数列an的公差为d，数列bn中，bn3an4，试判断bn是否为
7、等差数列，并说明理由解析：bn是等差数列，理由如下：因为an是公差为d的等差数列，所以an1and(nN*)，又bn3an4，所以bn13an14，则bn1bn(3an14)(3an4)3(an1an)3d(常数)(nN*)由等差数列的定义知，数列bn是等差数列3已知a12，若an12an2n1，证明为等差数列，并求an的通项公式证明：由于an12an2n1，1，是以1为首项，1为公差的等差数列1(n1)1，即n，ann2n.又当n1时，上式也符合故ann2n.探究三等差中项的应用阅读教材P39练习第5题已知an是等差数列(1)2a5a3a7是否成立？2a5a1a9呢？为什么？(2)2anan
8、1an1(n1)是否成立？2anankank(nk0)是否成立？能得出什么结论？提示：成立，a5是a3和a7及a1和a9的等差中项成立，an是an1和an1及ank和ank的等差中项例5(1)在等差数列an，若a316，a980，则a6等于()A13 B15C17 D48解析在等差数列an中，由a316，a980，得2a6a3a9168096，所以a648.答案D(2)已知2a3bm，且a，ab，b成等差数列，a，b为正数，则m()A. BC. D6解析由2a3bm，得alog2m，blog3m，又a，ab，b成等差数列，则ab2ab，即2，所以logm2logm3logm62，解得m.答案C
9、(3)在1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列解析法一：设a11，a57.71(51)dd2.所求的数列为1,1,3,5,7.法二：1，a，b，c,7成等差数列，b是1与7的等差中项，b3.又a是1与3的等差中项，a1.又c是3与7的等差中项，c5.该数列为1,1,3,5,7.方法技巧(1)在等差数列an中，由定义有an1ananan1(n2，nN*)，即an，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项(2)an是它前面的隔k项ank与它后面的隔k项ank的等差中项跟踪探究4.在等差数列an中，若a6a8a1072，则2a10a1
10、2的值为()A20 B22C24 D28解析：因为在等差数列an中，a6a8a1072，所以a6a8a103a872，解得a824，所以2a10a122(a19d)(a111d)a17da824.答案：C授课提示：对应学生用书第25页课后小结对等差数列定义的理解(1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中的“与前一项的差”相吻合(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：作差的顺序；这两项必须相邻(3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列定义法是判定(或证明)数列an是等差数列的基本方法，
11、其步骤为：作差an1an；对差式进行变形；当an1an是一个与n无关的常数时，数列an是等差数列；当an1an不是常数，而是与n有关的代数式时，数列an不是等差数列素养培优1对等差数列的定义理解不透已知数列an满足a11，an1an2n，求数列an的通项公式易错分析由an1an2n推出an是等差数列，这是由于对等差数列的定义理解不深刻而造成的，事实上，“2n”并不是一个常数，因此an不是等差数列自我纠正由已知，得an1an2n，所以a2a121，a3a222，a4a323，anan12(n1)，以上各式相加，得ana12123(n1)n(n1)，所以ann2n1.2通项公式应用失误首项为4的等差数列an从第10项起为正数，则公差d的取值范围为()A.B.C. D.易错分析本题出错的根本原因是对条件的转化错误，原题意应转化为自我纠正由题意可得解不等式组可得d.答案：C3混淆等差数列形式数列an满足a11，a2，且(n2)，则an()A. B()n1C.n D.易错分析此题易把an和混淆，是等差数列，an不是等差数列，公差d，而不是a2a1.自我纠正因为a11，a2，所以1.因为(n2)，所以(n2)所以数列是首项为1，公差为的等差数列所以1(n1)，所以an.当n1时，上式也符合答案：A
