1、高中物理破解天体质量和密度的相关计算一、考点突破知识点考纲要求题型分值万有引力的理论成就会利用万有引力定律求解天体的质量、密度等参数选择题6分一、计算天体的质量基本思路1. 地球质量的计算利用地球表面的物体，若不考虑地球自转，质量为m的物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg，则M，由于g、R已经测出，因此可计算出地球的质量。2. 太阳质量的计算利用某一行星：由于行星绕太阳的运动，可看作匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即Gm2r，而，则可以通过测出行星绕太阳运转的周期和轨道半径，得到太阳质量M。3. 其他行星质量的计算利用绕行星运转的卫星，若测出该卫星绕行星运转的周期和轨道半
2、径，同样可得出行星的质量。二、计算天体的质量的具体方法（以地球是中心天体，月球是环绕卫星为例）如果不考虑地球自转的影响，地球上的物体所受重力等于地球对它的万有引力。由万有引力定律mg得M，其中g为地球表面的重力加速度，R为地球半径，G为万有引力常量。从而得到地球质量M5.961024 kg。通过上面的过程，我们可以计算地球的质量，通过其他的方法，或者说已知另外的一些条件能否测出地球质量。（1）若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力等于向心力，即m月r，可求得地球质量M地。（2）若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运动的线速度v，由于地球对月球的引力等于月球做匀
3、速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得m月解得地球的质量为M地（3）若已知月球运行的线速度v和运行周期T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得m月vm月以上两式消去r，解得【规律总结】由以上论述可知，求天体质量的方法主要有两种：一种方法是根据天体表面的重力加速度来求天体质量，即mg，gG，则M，题目中常见的如利用在天体表面的平抛或自由落体运动来计算g的值。另一种方法是根据天体的圆周运动，即根据天体做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，列出方程：Gmrmm2r来求得质量M用第二种方法只能求出圆心处天体质量（即中心天体）。三、天体密度的计算1. 利用天体表面的
4、重力加速度，来求天体的自身密度。由mg和MR3，得其中g为天体表面重力加速度，R为天体半径。2. 利用天体的卫星来求天体的密度设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程：Gmr，MR3，得当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度为：技巧点拨：在已知重力加速度求天体质量或密度时，通常可以利用重力等于万有引力，重力就是环绕天体运动的向心力以及圆周运动的规律求解。在行星表面的物体的重力等于行星对它的万有引力，在行星附近飞行的飞船，由万有引力提供其做圆周运动的向心力。例题1 一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该
5、行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为（）A. B. C. D. 思路分析：设卫星的质量为m，行星半径为R，由于是近行星表面做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，得Gm由重力提供向心力，得mmg由已知条件：m的重力为N得Nmg由得g，代入得：R代入得M，故B项正确。答案：B例题2 一行星绕恒星做圆周运动。由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则（）A. 恒星的质量为B. 行星的质量为C. 行星运动的轨道半径为D. 行星运动的加速度为思路分析：由，得M，A对；无法计算行星的质量，B错；r，C对；a2
6、rvv，D对。答案：ACD例题3 宇航员站在一星球表面上某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L，若抛出时的初速度增大为原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G，求该星球的质量M。思路分析：设抛出点的高度为h，第一次水平位移为x，则x2h2L2同理，对于第二次平抛过程有（2x）2h2（L）2由解得h。设该行星上重力加速度为g，由平抛运动规律得hgt2由万有引力定律与牛顿第二定律，得Gmg由以上各式可解得M答案：例题4 宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t，小球落
7、回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。（取地球表面重力加速度g10m/s2，空气阻力不计）（1）求该星球表面附近的重力加速度g；（2）已知该星球的半径与地球半径之比为R星:R地1:4，求该星球的质量与地球质量之比M星：M地。思路分析：（1）在地球表面t在某星球表面5t由联立可解得gg10m/s22m/s2；（2）设m为物体质量，则对星球表面的物体mg对地球表面的物体mg由联立可解得1:80。答案：（1）2m/s2 （2）1:80【方法提炼】 求中心天体质量的途径依据万有引力等于向心力，可得以下四种求中心天体质量的途径（1）若已知卫星在某一高度的加速
8、度g和环绕的半径r，可得M；（2）若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的线速度v和半径r，可得M；（3）若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r，可得M；（4）若已知卫星运行的线速度v和周期T，可得M。天体近似可看作正球体，其体积可表示为，故计算天体密度时，求出天体质量并且知道天体的半径，即可求得密度。【满分训练】有一宇宙飞船到了某行星上空（不考虑该行星自转运动）表面附近以v做匀速圆周运动，测出该宇宙飞船运动的周期为T，已知引力常量为G，则可以计算出（）A. 该行星的半径 B. 该行星的平均密度C. 该宇宙飞船的质量 D. 该行星表面的重力加速度思路分析：根据圆周运动的规律vR，可求得该行星的半径为R，选项A正确；根据G，可得M，可求出该行星的质量，但无法求出宇宙飞船的质量，又由可求得该行星的密度，选项B正确，选项C错误；该行星表面的重力加速度等于宇宙飞船的向心加速度，gv，选项D正确。答案：ABD
