1、课时质量评价(二十七)A组全考点巩固练1已知点M(5,6)和向量a(1,2),若3a,则点N的坐标为()A(2,0) B(3,6)C(6,2) D(2,0)A解析:因为3a(5,6)3(1,2)(2,0),所以点N的坐标为(2,0)2已知向量a(1,2),b(3,m),mR,则“m6”是“a(ab)”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件A解析:由题意得ab(2,2m),由a(ab),得1(2m)22,所以m6当m6时,ab(2,4)2(1,2),可得a(ab),则“m6”是“a(ab)”的充要条件3如图,在ABC中,BE是边AC的中线,O是边BE的中点若a,b
2、,则()Aab BabCab DabB解析:因为在ABC中,BE是AC边上的中线,所以因为O是BE边的中点,所以(),所以又因为a,b,所以ab4如图,在正方形ABCD中,M是BC的中点,若,则()A B C D2B解析:以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略),设正方形边长为1,由此,(1,1),(1,1),故1,1,解得,5(2022河南新乡三模)设向量e1,e2是平面内的一组基底,若向量a3e1e2与be1e2共线,则()A B C3 D3B解析:因为a与b共线,所以存在R,使得ab,即3e1e2(e1e2)故3,1,解得故选B6已知向量a(1sin ,1),b若ab,则锐角()A B
3、C DB解析:因为ab,所以(1sin )(1sin )10,得sin2,所以sin ,故锐角7已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(3x4y)e1(2x3y)e26e13e2,则2xy_9解析:由平面向量基本定理可知解得故2xy98(2021福建三明模拟)如图,在ABC中,已知,点P在线段BN上若,则实数的值为_解析:可化为,即因为,所以由B,P,N三点共线可得9如图,在梯形ABCD中,ADBC,且ADBC,E,F分别为线段AD与BC的中点设a,b,试以a,b为基底表示向量,解:因为ADBC,ADBC,E,F分别为线段AD,BC的中点,所以AEEDBC,BFFCBC,所以babba,bb
4、a,bab10如图,向量与的夹角为120,|2,|1,P是以O为圆心,|为半径的弧上的动点若,求的最大值解:建立如图所示的平面直角坐标系,设P(cos ,sin ),则(cos ,sin ),(2,0),因为,所以(cos ,sin ),即所以所以cossin sin sin sin 2sin2sin 2cos 2sin当且仅当2,即时,取等号所以的最大值为B组新高考培优练11(多选题)已知向量(1,3),(2,1),(m1,m2)若点A,B,C能构成三角形,则实数m的值可以是()A2 B C1 D1ABD解析:若A,B,C三点不共线即可构成三角形因为(2,1)(1,3)(1,2),(m1,m
5、2)(1,3)(m,m1)假设A,B,C三点共线,则1(m1)2m0,即m1所以只要m1,A,B,C三点即可构成三角形,故选ABD12我国东汉末数学家赵爽在周髀算经中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示若E为AF的中点,则()A B C DD解析:以E为坐标原点,EF所在直线为x轴,ED所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,设|EF|1,又E为AF的中点,所以E(0,0),G(1,1),A(1,0),B(1,1),D(0,2),则(1,1),(2,1),(1,2)由,得(1,1)(2,1)(1,2
6、)所以解得则故选D13如图,在平面直角坐标系xOy中,原点O是正八边形P1P2P3P8的中心,P1P8x轴,若坐标轴上的点M(异于O点)满足ij0(其中1i8,1j8且i,jN*),则满足以上条件的点M的个数为()A2 B4 C6 D8D解析:分以下两种情况讨论:若点M在x轴上,则Pi,Pj(1i8,1j8, i,iN*)关于x轴对称,由题图可知,P1与P8,P2与P7,P3与P6,P4与P5,关于x轴对称,此时,符合条件的点M有4个;若点M在y轴上,则Pi,Pj(1i8,1j8,i,jN*)关于y轴对称,由题图可知,P1与P4,P2与P3,P5与P8,P6与P7关于y轴对称,此时,符合条件的
7、点M有4个综上所述,满足题中条件的点M的个数为8故选D14已知平面向量a,b,c满足|a|b|ab|abc|1,则|c|的最大值M_,|c|的最小值m_11解析:因为|a|b|ab|1所以a,b,ab可构成等边三角形,且|ab|因为|abc|1,所以如图所示,c的终点在以ab的终点为圆心、半径为1的圆上,故M1,m115在矩形ABCD中,AB,BC,P为矩形内一点,且AP若(,R),则的最大值为_解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设P(x,y),B(,0),C(,),D(0,)因为AP,所以x2y2,点P满足的约束条件为因为(,R),所以(x,y)(,0)(0,)所以所以xy因为xy,当且仅
8、当xy时取等号,所以的最大值为16在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在ABC三边围成的区域(含边界)上(1)若0,求|;(2)设mn(m,nR),用x,y表示mn解:(1)因为0,(1x,1y)(2x,3y)(3x,2y)(63x,63y),所以解得即(2,2),故|2(2)因为mn,(1,2),(2,1),所以(x,y)(m2n,2mn),即两式相减,得mnyx17经过OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q设m,n,m,n(0,),求mn的最小值解:设a,b,由题意知()(ab),nbma,ab由P,G,Q三点共线得,存在实数,使得,即nbmaab,从而消去得3,于是mn(mn)(22)当且仅当mn时,mn取得最小值