1、能力提升练解析几何 (建议用时：90分钟)一、填空题1(2014山东省实验中学诊断)已知两条直线yax2和3x(a2)y10互相平行，则a等于_解析因为直线yax2的斜率存在且为a，所以(a2)0，所以3x(a2)y10的斜截式方程为yx，由两直线平行，得a且2，解得a1或a3.答案1或32(2014洛阳模拟)椭圆1的焦距为_解析由题意知a216，b29，所以c2a2b21697，所以c，即焦距为2c2.答案23(2014长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线3x4y50与圆x2y24相交于A，B两点，则弦AB的长等于_解析圆心到直线的距离d1，弦AB的长l222.答案24(2014武汉一模
2、)已知圆C经过A(5,2)，B(1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是_解析设圆心坐标为C(a,0)，则|AC|BC|，即，解得a1，所以半径r2，所以圆C的方程是(x1)2y220.答案(x1)2y2205(2014湖州模拟)设双曲线1(a0)的焦点为(5,0)，则该双曲线的离心率等于_解析因为双曲线的焦点为(5,0)，所以c5，又a29c225，所以a216，a4，所以离心率为e.答案6(2014济南一模)若抛物线y22px(p0)的焦点在直线x2y20上，则该抛物线的准线方程为_解析抛物线的焦点坐标为，代入直线x2y20方程，得20，即p4，所以抛物线的准线方程为x2.答案x27(2
3、014郑州模拟)以双曲线1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是_解析双曲线的右焦点为(3,0)，双曲线的渐近线为yx，不妨取渐近线yx，即x2y0，所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即r.所以圆的方程为(x3)2y23.答案(x3)2y238(2014汕头一模)若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为_解析抛物线的焦点坐标为，椭圆的右焦点为(2,0)，所以由2，得p4.答案49(2014杭州模拟)已知两点M(5,0)和N(5,0)，若直线上存在点P，使|PM|PN|6，则称该直线为“R型直线”给出下列直线：yx1；y2；yx；y2x1，其中为“R型直线”的是_解析
4、由题意可知，点P的轨迹是在双曲线的右支上，其中2a6，a3，c5，所以b2c2a216.所以双曲线方程为1(x0)显然当直线yx1与y2和双曲线的右支有交点，所以为“R型直线”的是.答案10(2014湖州一模)已知抛物线y24px(p0)与双曲线1(a0，b0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为_解析依题意，得F(p,0)，因为AFx轴，设A(p，y)，y0，y24p2，所以y2p.所以A(p,2p)又点A在双曲线上，所以1.又因为cp，所以1，化简，得c46a2c2a40，即46210.所以e232，e1.答案111(2014兰州一模)已知抛物线x24y上一点
5、P到焦点F的距离是5，则点P的横坐标是_解析由抛物线定义知，yP15，即yP4，所以有x16，解得xP4.答案412(2013上海卷)设AB是椭圆的长轴，点C在上，且CBA.若AB4，BC，则的两个焦点之间的距离为_解析设D在AB上，且CDAB，AB4，BC，CBA45，所以有CD1，DB1，AD3，所以有C(1，1)，把C(1,1)代入椭圆的标准方程得1，a2b2c2且2a4，解得，b2，c2，则2c .答案 13已知双曲线x21的焦点为F1，F2，点M在双曲线上且0，则M到x轴的距离为_解析设|MF1|m，|MF2|n，则可得mn4.由MF1F2的面积可得M到x轴的距离为.答案14(201
6、4淄博二模)若双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1和F2，线段F1F2被抛物线y22bx的焦点分成53两段，则此双曲线的离心率为_解析抛物线的焦点坐标为，由题意知，c2b，所以c24b24(c2a2)，即4a23c2，所以2ac，所以e.答案二、解答题15(2013广东卷改编)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线l：xy20的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程解(1)依题意，设抛物线C的方程为x24cy，则，c0，解得c1.所以抛物
7、线C的方程为x24y.(2)抛物线C的方程为x24y，即yx2，求导得yx，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程为yy1(xx1)，即yxy1，即x1x2y2y10.同理可得切线PB的方程为x2x2y2y20，又点P(x0，y0)在切线PA和PB上，所以x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x2y02y0 的两组解，所以直线AB的方程为x0x2y2y00.16已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；
8、(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解(1) 设圆P的半径为r，则|PM|1r，|PN|3r，|PM|PN|4|MN|，P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆(左顶点除外)，且2a4,2c2，a2，c1，b2a2c23.P的轨迹曲线C的方程为1(x2)(2)由(1)知2r(|PM|PN|)2|MN|24，圆P的最大半径为r2.此时P的坐标为(2,0)圆P的方程为(x2)2y24.当l的倾斜角为90，方程为x0时，|AB|2，当l的倾斜角不为90，设l的方程为ykxb(kR)，解得或l的方程为yx，yx.联立方程化简得7x28x80，x1x2
9、，x1x2，|AB|.当k时，由图形的对称性可知|AB|.综上，|AB|2或.17(2014东北三校联考)如图，已知点E(m,0)(m0)为抛物线y24x内一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线交抛物线于点A，B，C，D，且M，N分别是AB，CD的中点(1)若m1，k1k21，求EMN面积的最小值；(2)若k1k21，求证：直线MN过定点解(1)当m1时，E为抛物线y24x的焦点，k1k21，ABCD.设直线AB的方程为yk1(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k1y24y4k10，y1y2，y1y24.M，M，同理，点N(2k1，2k1)，SEMN|EM|EN|224，
10、当且仅当k，即k11时，EMN的面积取得最小值4.(2)设直线AB的方程为yk1(xm)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k1y24y4k1m0，y1y2，y1y24m，M，M，同理，点N，kMNk1k2.直线MN的方程为yk1k2，即yk1k2(xm)2，直线MN恒过定点(m,2)18(2013重庆卷)如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A两点，|AA|4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P，过P，P作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外若PQPQ，求圆Q的标准方程解(1)由题意知点A(
11、c,2)在椭圆上，则1，从而e21.由e，得b28，从而a216.故该椭圆的标准方程为1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0)又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2(xx0)2y2x22x0xx8(x2x0)2x8(x4,4)设P(x1，y1)，由题意知，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当xx1时取最小值，又因x1(4,4)，所以上式当x2x0时取最小值，从而x12x0，且|QP|28x.因为PQPQ，且P(x1，y1)，所以(x1x0，y1)(x1x0，y1)0，即(x1x0)2y0.由椭圆方程及x12x0，得x80，解得x1，x0.从而|QP|28x.故这样的圆有两个，其标准方程分别为2y2，2y2.
