1、第2讲一元二次不等式及其解法知 识 梳 理1一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)(2)计算相应的判别式(3)当0时，求出相应的一元二次方程的根(4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集2三个“二次”间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc (a0)的图象续表一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0)的解集x|xx2或xx1Rax2bxc0(a0)的解集x|x1xx2辨 析 感 悟1对一元二次不等
2、式的解法的理解(1)(教材习题改编)不等式x25x60的解集为x|x6，或x1()(2)若不等式ax2bxc0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(3)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(4)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()2对一元二次不等式恒成立问题的认识(5)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()(6)若关于x的不等式ax2x10的解集为R，则a.()(7)若不等式x2ax10对x恒成立，则a的最小值为.()感悟提升三个防范一是当0时，不等式ax2bx
3、c0(a0)的解集为R还是，要注意区别，如(4)中当a0时，解集为R；当a0时，解集为.二是对于不等式ax2bxc0求解时不要忘记讨论a0时的情形，如(5)中当ab0，c0时，不等式ax2bxc0在R上也是恒成立的三是解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨佛论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏.考点一一元二次不等式的解法【例1】 (2014大连模拟)已知函数f(x)(ax1)(xb)，如果不等式f(x)0的解集是(1,3)，则不等式f(2x)0的解集是_解析由f(x)0，得ax2(ab1)xb0，又其解集是(1,3)，a0.且解得a1或，a1
4、，b3.f(x)x22x3，f(2x)4x24x3，由4x24x30，得4x24x30，解得x或x.答案规律方法 解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集【训练1】 (2013江西卷改编)使不等式x0时，原不等式可化为x21x3，解得x，当x0时，原不等式可化为解得x1.答案(，1)考点二含参数的一元二次不等式的解法【例2】 (2013烟台期末)解关于x的不等式：ax222xax(aR)解原不等式可化为ax2(a2)x20.当a0时，原不等式化为x10，解得x1.当a0时，原不等式化为(x1)0，解得x或
5、x1.当a0时，原不等式化为(x1)0.当1，即a2时，解得1x；当1，即a2时，解得x1满足题意；当1，即a2，解得x1.综上所述，当a0时，不等式的解集为x|x1；当a0时，不等式的解集为；当2a0时，不等式的解集为；当a2时，不等式的解集为x|x1；当a2时，不等式的解集为.规律方法 解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是小于0，等于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式与0的关系(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式【训练2】 (1)(
6、2013重庆卷改编)关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a等于_(2)解关于x的不等式(1ax)21.(1)解析法一不等式x22ax8a20的解集为(x1，x2)，x1，x2是方程x22ax8a20的两根由根与系数的关系知x2x115，又a0，a.法二由x22ax8a20，得(x2a)(x4a)0，a0，不等式x22ax8a20的解集为(2a,4a)，又不等式x22ax8a20的解集为(x1，x2)，x12a，x24a.x2x115，4a(2a)15，解得a.答案(2)解由(1ax)21，得a2x22ax0，即ax(ax2)0，当a0时，x.当a0时，由
7、ax(ax2)0，得a2x0，即0x.当a0时，x0.综上所述：当a0时，不等式解集为空集；当a0时，不等式解集为；当a0时，不等式解集为.考点三一元二次不等式恒成立问题【例3】 已知函数f(x)mx2mx1.(1)若对于xR，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x1,3，f(x)5m恒成立，求实数m的取值范围解(1)由题意可得m0或m0或4m04m0.故m的取值范围是(4,0(2)法一要使f(x)m5在1,3上恒成立，即m2m60在x1,3上恒成立令g(x)m2m6，x1,3当m0时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，则0m；当m0时，60
8、恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.综上所述：m的取值范围是.法二f(x)m5m(x2x1)6，x2x10，m对于x1,3恒成立，只需求的最小值，记g(x)，x1,3，记h(x)2，h(x)在x1,3上为增函数则g(x)在1,3上为减函数，g(x)ming(3)，m.所以m的取值范围是.规律方法 (1)不等式ax2bxc0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a0时，b0，c0；当a0时，不等式ax2bxc0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a0时，b0，c0；当a0时，(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处
9、理方法：一是利用二次函数区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单【训练3】 (1)若关于x的不等式ax22x20在R上恒成立，则实数a的取值范围是_(2)(2014淄博模拟)若不等式(aa2)(x21)x0对一切x(0,2恒成立，则a的取值范围是_解析(1)当a0时，原不等式可化为2x20，其解集不为R，故a0不满足题意，舍去；当a0时，要使原不等式的解集为R，只需解得a.综上，所求实数a的取值范围是.(2)x(0,2，a2a.要使a2a在x(0,2时恒成立，则a2amax，由基本不等式得x2，当且仅当x1时，等号成立，即max.故a2a，解得a或a.答案
10、(1)(2)1解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决2当判别式0时，ax2bxc0(a0)解集为R；ax2bxc0(a0)解集为.二者不要混为一谈3含参数的不等式的求解，注意选好分类标准，避免盲目讨论4对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.思想方法6数形结合思想在“三个二次”间关系的应用【典例】 (2012福建卷)对于实数a和b，定义运算“*”；a*b 设f(x)(2x1)*(x1)，且关于x的方程f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x
11、1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_解析由定义可知：f(x)(2x1)*(x1)f(x)作出函数f(x)的图象，如图所示由图可知，当0m时，f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3.不妨设x1x2x3，易知x20，且x2x321，0x2x32，即0x2x3.令解得x或(舍去)x10，x10，0x1x2x3，x1x2x30.答案反思感悟 “三个二次”间关系，其实质是抓住二次函数yax2bxc(a0)的图象与横轴的交点、二次不等式ax2bxc0(a0)的解集的端点值、二次方程ax2bxc0(a0)的根是同一个问题解决与之相关的问题时，可利用函数与方程思想、化归思想将问题转
12、化，结合二次函数的图象来解决【自主体验】1已知函数f(x)则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的取值范围是_解析由函数f(x)的图象可知(如下图)，满足f(1x2)f(2x)分两种情况：0x1；1x0.综上可知：1x1.答案(1，1)2已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_解析画出f(x)的图象，如图由函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图象得：0m1，即m(0,1)答案(0,1)基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2014长春调研)已知集合Px|x2x20，Qx|log2(x1)1，则(RP)Q_.解析依题意，得Px|1x2，Qx|1x3，
13、则(RP)Q(2,3答案(2,32(2014沈阳质检)不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是_解析不等式x2ax40的解集不是空集，只需a2160，a4或a4.答案(，4)(4，)3(2013南通二模)已知f(x)则不等式f(x)f(4)的解集为_解析f(4)2，不等式即为f(x)2.当x0时，由2，得0x4；当x0时，由x23x2，得x2，因此x0.综上，f(x)f(4)的解集为x|x4答案x|x2x的解集为(1,3)(1)若方程f(x)6a0有两个相等的根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围解(1)f(x)2x0的解集为(1,3)，f(x)2xa(x1)(x3)，且a0，因而f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由方程f(x)6a0，得ax2(24a)x9a0.因为方程有两个相等的根，所以(24a)24a9a0，即5a24a10，解得a1或a.由于a0，舍去a1，将a代入，得f(x)x2x.(2)由f(x)ax22(12a)x3aa2及a0，可得f(x)的最大值为.由解得a2或2a0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(，2)(2，0).
