1、河南省商丘市第一高级中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，选A.考点：集合运算【名师点睛】1.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解2求交、并、补的混合运算时，先算括号里面的，再按运算顺序求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍4在解决有
2、关AB，AB等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解2.在中，“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分条件和必要条件的概念，直接分析即可得出结果.【详解】当时，成立若当时，满足即由“”能推出“”；反之不一定成立.所以，“”是“”的充分不必要条件故选A【点睛】本题主要考查充分不必要条件，熟记概念即可，属于基础题型.3.在复平面内，复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】化简成标准形式即可【详解】解：所以复数对应的点位于第四象限故
3、选：D【点睛】考查复数的运算以及复数的几何意义，基础题.4.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）A. 10B. 9C. 8D. 4【答案】B【解析】【分析】作出可行域，看目标函数的截距即可【详解】解：作可行域如图：由得，当过，截距最大，此时故选：B【点睛】考查线性规划求最大值，基础题.5.已知是等差数列的前项和，若，则（ ）A. 40B. 80C. 36D. 57【答案】D【解析】【分析】由，代入求和公式即可.【详解】解：故选：D【点睛】考查等差数列求和，基础题.6.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠
4、子从口4出来，那么你取胜的概率为（ ）A. B. C. D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】从入口到出口4共由5个岔口，每个岔口的概率都是，根据二项分布的概率计算公式可解【详解】解：从入口到出口4共有种走法，其中每一岔口的概率都是所以珠子从口4出来的概率为故选：C【点睛】考查二项分布的概率计算，基础题.7.己知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且 (为原点)，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】联立准线方程和双曲线方程，结合，找到关系可求离心率.【详解】解：的准线，的一条渐近线方程时，根据对称性，有又故选：C【点睛】考查
5、双曲线的离心率的求法，基础题.8.设随机变量，且，则实数的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】正态分布概率密度函数图象的对称性可解【详解】解：随机变量，其期望为1因为，根据正态分布概率密度函数图象的对称性有，故选：B【点睛】考查根据正态分布概率密度函数图象的对称性求参数，基础题.9.已知函数是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对任意两个不相等的正数，都有，判断在单调递减，再证明是上的偶函数，根据单调性判断即可【详解】解：不妨设，则，因为，所以，即在单调递减，因为函数是定义在上的奇函数，是
6、上的偶函数，所以故选：A【点睛】考查根据式子的结构构造新函数的能力，同时利用单调性比较大小，基础题.10.在等比数列中，若，则（ ）A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把代入中，用上即可【详解】解：是等比数列故选：C【点睛】利用等比数列的性质求值，基础题.11.已知为椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好经过焦点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】因为线段的中垂线恰好经过焦点，根据垂直平分线的性质，又因为是存在一点，焦半径必须大于或等于其最小值，由此解不等式，同时注意椭圆的离心率一定小于1.【详解】解：如图，因为线段的中
7、垂线经过，即在椭圆上存在一点，使得，又，所以椭圆离心率的取值范围是，故选：A【点睛】已知椭圆上存在一点求椭圆的离心率，注意椭圆的焦半径的最小值是，同时椭圆的离心率一定小于1，基础题.12.已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线对称的点在的图像上，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】关于对称的函数为，所以的图象与的图象有且仅有四个不同的交点，作出与的图象，利用导数等于斜率，求出临界直线的斜率即可.【详解】解：函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线对称的点在的图像上，关于对称的函数为所以的图象与的图象有且仅有四个不同的交点，作与的图象如下：易知恒过点设
8、直线与相切于点，故，设直线与相切于点，故，故，故选：B【点睛】已知两个函数图象交点情况，求参数的取值范围，是难题.二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知函数，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】等价于，转化成，再由或，由可得.【详解】解：等价于是的增函数又或由得，不等式的解集为故答案为：【点睛】考查利用函数单调性解不等式，注意复合函数的定义域，基础题.14.设，求函数的最小值为_【答案】9【解析】试题分析：本题解题的关键在于关注分母，充分运用发散性思维，经过同解变形构造基本不等式，从而求出最小值.试题解析：由得，则当且仅当时，上式取“=”，所以.考点：基本不等式；构
9、造思想和发散性思维.15.已知，命题，.命题，若命题 为真命题，则实数的取值范围是_.【答案】或【解析】【分析】命题命题为真时，； 命题命题为真时，所以或，则由得或【详解】解：命题，命题，则，所以或若命题为真命题，则由得或故答案： 或【点睛】考查根据“若命题为真命题，则命题为真且为真”求参数范围，基础题.16.设函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据和分别是奇、偶函数，可化为，令，则，化为，即，求出最大值即可【详解】解：函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，由得，可化为，令，则，化为：，即令，递增，递减则实数取值范围是：故答
10、案为： 【点睛】考查奇偶函数的性质以及不等式恒成立求参数的范围，中档题.三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17.已知，在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且.（1）求角A的大小；（2）设的面积为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）.由正弦定理可得：，化简整理即可（2）的面积为，得 ，由余弦定理可得：，【详解】解：（1）.由正弦定理可得：，又，可得：，又，所以. （2）因为，的面积为，解得 由余弦定理可得：，当且仅当时等号成立.综上，边的取值范围为【点睛】考查正、余弦定理以及基本不等式的应用，中档题.18.如图，与都是边长
11、为2的正三角形，平面平面，平面，.（1）求点到平面的距离；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】（1），（2）【解析】【详解】解法一：（1）等体积法取CD中点O，连OB，OM，则OB=OM=，OBCD，MOCD又平面平面,则MO平面，所以MOAB，MO平面ABCM、O到平面ABC的距离相等作OHBC于H，连MH，则MHBC求得OH=OC，MH=设点到平面的距离为d，由得即，解得（2）延长AM、BO相交于E，连CE、DE，CE是平面与平面的交线由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.作BFEC于F，连AF，则AFEC，AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.因为BCE=120，
12、所以BCF=60.，.则所求二面角的正弦值为解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OBCD，OMCD又平面平面,则MO平面.取O为原点，直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图OB=OM=，则各点坐标分别为C（1，0，0），M（0，0，），B（0，0），A（0，-，）.（1）设是平面MBC的法向量，则,.由得；由得取，则（2），.设平面ACM的法向量为，由得解得，取.又平面BCD的法向量为.所以，设所求二面角为，则.19.已知椭圆的左、右焦点分别为，直线l与椭圆C交于A、B两点，且（1）求椭圆C的方程；（2）若A、B两点关于原点O的对称点分别为，且，判断四边形是否存在内切
13、的定圆？若存在，请求出该内切圆的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，【解析】【分析】（1）因为，所以，所以，解得，代入方程即可 （2）当直线的斜率存在时，设，由，因为，所以，原点到直线的距离，同理可证，原点到达的距离都为，四边形存在内切的定圆，且该定圆的方程为当直线的斜率不存在时，同理说明即可【详解】解：(1)因为，所以，.因为直线与椭圆交于，两点，且，所以，所以，解得，所以，所以椭圆的方程为(2)当直线的斜率存在时，设由得，所以，因为，所以，即所以，所以原点到直线的距离根据椭圆的对称性，同理可证，原点到达的距离都为，所以四边形存在内切的定圆，且该定圆的方程为 当直线的斜率
14、不存在时，设直线的方程为，不妨设分别为直线与椭圆的上、下交点，则，由，得，解得，所以此时原点到直线的距离为.根据椭圆的对称性，同理可证，原点到达的距离都为，所以四边形存在内切的定圆，且该定圆的方程为.综上可知，四边形存在内切的定圆，且该定圆的方程为【点睛】考查椭圆方程的求法，判断四边形是否存在内切圆转化为判断一定点到四边的距离是否相等，难题20.某种植物感染病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗病毒的制剂，现对20株感染了病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg)进行统计.规定：植株吸收在6mg（包括6
15、mg）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.编号0102030405060708091011121314151617181920吸收量(mg)683895662775106788469（1）完成以下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？ 吸收足量吸收不足量合计植株存活1植株死亡合计20（2）若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记为“植株死亡”的数量，求得分布列和期望；将频率视为概率，现在对已知某块种植
16、了1000株并感染了病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量，求.参考数据：，其中【答案】（1）不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关；（2）分布列见解析，240【解析】【分析】（1）已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株，由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填表即可（2）代入公式计算，有关（3）样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株，所以抽取的3株中的可能取值是2，3，根据古典概型计算即可. “植株存活”且“制
17、剂吸收足量”的概率为，【详解】解：(1) 由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填写列联表如下： 吸收足量吸收不足量合计植株存活12113植株死亡347合计15520所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关. 样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株，所以抽取的3株中的可能取值是2，3. 其中， 的分布列为：23所以.【点睛】考查完成列联表、离散型随机变量的分布列、期望以及二项分布的方差，难题.21.已知函数（1）若函数在x=1时取得极值，求实数a的值；（2）当0a1
18、时，求零点的个数.【答案】（1）1；（2）两个【解析】【分析】(1) 函数在x=1时取得极值，得，解得，时，求单调区间，验证在x=1时取得极值 （2），由，得减区间为，增区间为，其极小值为，函数在上有且仅有一个零点，根据，令，得，又因为，所以，所以当时，根据零点存在定理，函数在上有且仅有一个零点.【详解】解：(1)定义域为，由已知，得，解得，当时，所以，所以减区间为，增区间为，所以函数在时取得极小值，其极小值为，符合题意，所以(2)令，由，得所以，所以减区间为，增区间为，所以函数在时取得极小值，其极小值为，因，所以，所以，所以，因为，根据零点存在定理，函数在上有且仅有一个零点，因为，令，得，又
19、因为，所以，所以当时，根据零点存在定理，函数在上有且仅有一个零点，所以，当时，有两个零点.【点睛】考查根据函数极值情况确定参数的范围和函数零点个数，难题.22.在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为 (其中为参数).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆C2的极坐标方程为.（1）求曲线C1的方程普通方程和C2的直角坐标方程；（2）过圆C2的圆心，倾斜角为的直线l与曲线C1交于A、B两点，则求的值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）把代入到中即可.把代入即可，（2）先求直线的参数方程为(其中为参数)，再代入可知，因为，根据参数几何意义得【详解】
20、解：(1)曲线的参数方程为(其中为参数)，消去参数可得曲线的极坐标方程变为直角坐标的方程为: (2)可知的圆心坐标为，直线的参数方程为(其中为参数)，代入可知，因为，可知【点睛】考查把参数方程、极坐标方程化为普通方程，根据直线方程中参数的几何意义求线段之和，中档题.23.已知.（1）求不等式解集；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)把分段表示，后解不等式（2）不等式恒成立等价于恒成立，则，求其最大值即可.【详解】解：(1) 当时，由得，即解集为，当时，由得，解集为，当时，由得，解集为，综上所述，的解集为(2)不等式恒成立等价于恒成立，则，令，则，即所以实数的取值范围是【点睛】考查含两个绝对值号的不等式解法以及不等式恒成立求参数的范围，中档题.
