1、经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1证明函数上的单调性. 证明：在(0，+)上任取x1、x2(x1x2)， 令x=x2-x10则x10，x20，上式0，y=f(x2)-f(x1)0上递减.总结升华：1证明函数单调性要求使用定义；2如何比较两个量的大小？(作差)3如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)举一反三：【变式1】用定义证明函数上是减函数.思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1x2，则 0x1x21 x1-x20，0x1x210x1x20x1f(x2)上是减函数.总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上
2、是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2； (2)解：(1)由图象对称性，画出草图 f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2) 图象为 f(x)在上递增.举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|； (2)(3).解：(1)画出函数图象， 函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+)；(2)定义域为， 其中u=2x-1为增函数， 在(-，0)与(0，+)为减函数，则上为减函数；(3)定义域为(-，0)(0，+)，单调增区间为：(-，0)，单
3、调减区间为(0，+).总结升华：1数形结合利用图象判断函数单调区间；2关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.3复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+)上是减函数，则.4. 求下列函数值域： (1)； 1)x5，10； 2)x(-3，-2)(-2，1)；(2)y=x
4、2-2x+3； 1)x-1，1； 2)x-2，2.思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在5，10上单增，； 2)；(2)画出草图 1)yf(1)，f(-1)即2，6； 2).举一反三：【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x1，3时，求函数f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域.解：(1) 上单调递增，在上单调递增；(2)故函数f(x)在1，3上单调递增 x=1时f(x)有最小值，f(1
5、)=-2 x=3时f(x)有最大值 x1，3时f(x)的值域为.5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围. 解：(1)对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知 只需；(2)f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又a2，-2a-4 f(2)=-2a+11-4+11=7 .举一反三：【变式1】（2011 北京理13）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_.解：单调递减且值域(0,1，单调递增且值域为，由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.类型四、判断函数的
6、奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性： (1) (2)(3)f(x)=x2-4|x|+3(4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6) (7)思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.解：(1)f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)x-10，f(x)定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意xR，都有-xR，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ；(4)xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，f(x)为奇函数；(5) ，f(x)为奇函数；(6)xR，f(x)
7、=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，f(x)为奇函数；(7)，f(x)为奇函数.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)； (2)f(x)=|x+1|-|x-1|； (3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1)；(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) f(x)为奇函数；(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1 f(-x)-f(x)且f(-x)f(x) f(x)为非奇非偶函数；(4)任取x0则-x0，f(-x)=(-x)2+2(-x
8、)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x) 任取x0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x) x=0时，f(0)=-f(0) xR时，f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数.举一反三：【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x)G(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)g(x
9、)=G(x)f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合) 7已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2). 解：法一：f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=108a-2b=-50 f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数g(-2)=-g(2) f(-2)+8=-f(2)-8f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.举一反三：【变式1】（2011 湖南文12
10、）已知为奇函数，则为： 解：，又为奇函数，所以8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0，如图9设定义在-3，3上的偶函数f(x)在0，3上是单调递增，当f(a-1)f(a)时，求a的取值范围. 解：f(a-1)f(a) f(|a-1|)b0，给出下列不等式，其中成立的是_.f(b)-f(-a)g(a)-g(-b)； f(b)-f(-a)g(b)-g(-a)； f(a)-f(-b)g(b)-g(-a).答案：.11. 求下列函数的值域： (1) (2) (3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性
11、求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t的范围.解：(1)；(2)经观察知，；(3)令.12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1. (1)若函数f(x)在区间0，2上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x-1，1时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.解：(1)f(x)=(x-a)2-1 a0或a2(2)1当a1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a，如图13. 已知函数f(x)在定义域(0，+)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，
12、解不等式：f(x)+f(x-2)3. 解：令x=2，y=2，f(22)=f(2)+f(2)=2 f(4)=2再令x=4，y=2，f(42)=f(4)+f(2)=2+1=3 f(8)=3f(x)+f(x-2)3可转化为：fx(x-2)f(8).14. 判断函数上的单调性，并证明. 证明：任取0x1x2，0x1x2，x1-x20(1)当时 0x1x21，x1x2-10即f(x1)f(x2) 上是减函数.(2)当x1，x2(1，+)时， 上是增函数.难点：x1x2-1的符号的确定，如何分段.15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，xR，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值. 解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当xa时， 1 且 2上单调递增， 上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当xa时， 1上单调递减， 上的最小值为f(a)=a2+1 2上的最小值为 综上： .
