1、湖南湖北四校2020届高三数学下学期4月学情调研联考试题 理（含解析）一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简集合Q,根据集合的并集运算即可.【详解】由题意得，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题.2.x，y互为共轭复数，且则（ ）A. 2B. 1C. D. 4【答案】C【解析】【分析】利用待定系数法求解，设复数，则其共轭复数，然后将x，y代入中化简，可求出的值，从而可求出复数x，y的模.【详解】设，代入得，所以，解得，所以.故选：C【点睛
2、】此题考查复数和其共轭复数，复数的运算，复数的模，属于基础题.3.如图所示，三国时代数学家在周脾算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A. 20B. 27C. 54D. 64【答案】B【解析】【分析】设大正方体的边长为，从而求得小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，利用概率模拟列方程即可求解【详解】设大正方体的边长为，则小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，则，解得：故选B【点睛】本题主要考查了
3、概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题4.如图所示，在中，点在线段上，且，若，则（ ）A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】分析：从A点开始沿着三角形的边转到D，则把要求的向量表示成两个向量的和，把写成的实数倍，从而得到，从而确定出，最后求得结果.详解：，所以，从而求得，故选B.点睛：该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，求得结果.5.已知定义在R上的函数（m为实数）为偶函数，记，则a，b，c的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m0，从而f（x）1，根据此函数的奇偶性与单调性即
4、可作出判断.【详解】解：f（x）为偶函数；f（x）f（x）；11；|xm|xm|；（xm）2（xm）2；mx0；m0；f（x）1；f（x）在0，+）上单调递增，并且af（|）f（），bf（），cf（2）；02；acb故选B【点睛】本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间0，+）上，根据单调性去比较函数值大小6.如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥，分别计算
5、4个面的面积，即可得到结果.【详解】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥，故，该多面体的侧面最大面积为故选：B【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查三角形面积的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，点的坐标为若双曲线左支上的任意一点均满足，则双曲线的离心率的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据双曲线的定义，转化为，即，根据数形结合可知，当点三点共线时，最小，转化为不等式，最后求离心率的范围.【详解】由已知可得，若，即，左支上的点均满足，如图所示，当点位于点时，最小，故，即,或或或或双曲线的离心率的取值范
6、围为 .【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关键是根据几何关系分析的最小值，转化为的代数关系，最后求的范围.8.已知在关于x，y的不等式组，(其中)所表示的平面区域内，存在点，满足，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由条件画出可行域，而表示可行域中的点到点的距离的平方等于1，由图可知只需点到的距离的平方小于等于1即可，从而求出a的取值范围.【详解】由条件可得可行域，如图所示，由，得.因为直线与直线垂直，所以只需圆心到A的距离小于等于1满足题意即可，即，解得，当时恒存在点满足题意，故实数a的取值范围故选：D【点
7、睛】此题考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此题的关键，综合性较强，属于中档题.9.设的内角所对的边分别为，且，则的最大值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由正弦定理，得 ， 整理，得，同除以 得 ，由此可得 是三角形内角，且与同号， 都是锐角，即 当且仅当，即 时， 的最大值为故选B10.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将函数用三角恒等变换化简成正弦型函数，根据整体代换与正弦函数的性质，结合已知建立的不等量关系，即可求解.【详解】，在区间上是增函数，.当时，取得最大值，而在区间上恰好
8、取得一次最大值，解得，综上，.故选:D.【点睛】本题考查三角函数恒等变换、正弦函数性质，整体代换是解题的关键，属于中档题.11.已知抛物线：和直线：，是的焦点，是上一点，过作抛物线的一条切线与轴交于，则外接圆面积的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设出过点P的切线方程，将切线方程与抛物线方程联立，即可得到切线斜率，进而得到点Q坐标，利用斜率乘积为-1可判断出为直角三角形，外接圆的圆心即为斜边的中点，即可求出圆的半径，从而得到圆的面积，即可得到最值.【详解】将直线l与抛物线联立，得，即直线l与抛物线相切且切点为（1,2），又是上一点，当点P为切点（1,2）时，Q(0
9、,1),F(1,0)，此时为直角三角形，且外接圆的半径为1，故圆的面积为；当点P不为切点时，设点,切线斜率为k,则切线方程为，即，将切线方程与抛物线方程联立得，其中，则，此时切线方程化简得，此时点Q,可得,即为直角三角形，PF中点M即为外接圆的圆心，则,面积为，当时面积取到最小值为，综上，面积最小值为，故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线相切，考查三角形外接圆的面积问题，关键是能确定出三角形为直角三角形.12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】
10、【分析】在四面体中，设,过点A作于E，连接，得，求得，令，利用导数即可求解其最大值，进而得到体积的取值范围，得出答案.【详解】如图所示，设,过点A作于E，连接，则，又，所以，所以，令，则，解得，所以体积的最大值为，所以此三棱锥的体积的取值范围是，故选A. 【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征和体积的计算，以及利用导数求解最值的应用，其中解答中根据几何体的结构特征和体积公式，得到体积的表达式，准确利用导数求解最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知二项式的展开式中的常数项为，则_【答案】2【解析】【分析】在
11、二项展开式通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数的值【详解】二项式的展开式中的通项公式为，令，求得，可得常数项为，故答案为【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题14. 观察分析下表中的数据：多面体面数（）顶点数（)棱数（)三棱锥569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_.【答案】【解析】试题分析：三棱锥：,得；五棱锥：,得；立方体：,得；所以归纳猜想一般凸多面体中，所满足的等式是：，故答案为考点：归纳推理.15.设函数，函数，若对于任意的，总存在，使得，则实数m的取值范围是_【
12、答案】【解析】【分析】由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m的取值范围.【详解】由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值.，当时，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增.，即函数在上的最小值为-1.函数为直线，当时，显然不符合题意；当时，在上单调递增，的最小值为，则，与矛盾；当时，在上单调递减，最小值为，则，即，符合题意.故实数m的取值范围是.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了函数的最值，属于中档题.16.的内角，所对的边分别为，.已知，且，有下列结论：；，时，的面积为；当时，为钝角三角形.其中正确的是_（
13、填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】【详解】，故可设，.，则，当时，故为钝角三角形.面，又，.，即，.当，时，的面积为，故四个结论中，只有不正确.填【点睛】解三角形中运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式进边角互换及运算是常见题形，要注意三角形内角和为来减少角的个数，及两边之和大于第三边，两边第差小于第三边来构造不等关系是常用处理技巧三解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.17.已知数列、满足：，.（1）证明：是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求实数为何值时恒成立【答案】（1）
14、见解析，；（2）【解析】【分析】（1）由已知变形为，再构造，从而证明数列是等差数列，并求通项公式；（2）由（1）可知，再写出，利用裂项相消法求和，恒成立整理为恒成立，分，和三种情况讨论时恒成立求的取值范围.【详解】（1）， 数列是以-4为首项，-1为公差的等差数列，（2），由条件可知恒成立即可满足条件，设，当时，恒成立，当时，由二次函数的性质知不可能成立当时，对称轴，在为单调递减函数 ，时恒成立综上知：时，恒成立【点睛】本题考查证明由递推公式求通项公式，裂项相消法求和，以及数列和函数结合的综合性问题，意在考查转化与化归，讨论的思想和计算能力，属于中高档习题.18.在中，.已知分别是的中点.将沿
15、折起，使到的位置且二面角的大小是60，连接，如图：（1）证明：平面平面（2）求平面与平面所成二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）45【解析】【分析】（1）设的中点为，连接，设的中点为，连接，从而即为二面角的平面角，推导出，从而平面，则，即，进而平面，推导四边形为平行四边形，从而，平面，由此即可得证.（2）以B为原点，在平面中过B作BE的垂线为x轴，BE为y轴，BA为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面与平面所成二面角的大小.【详解】（1）是的中点，.设的中点为，连接.设的中点为，连接，.易证：，即为二面角的平面角.，而为的中点.易知，为等边三角形，.，平面.而，平面，即.由，平面
16、.分别为的中点.四边形平行四边形.，平面，又平面.平面平面.（2）如图，建立空间直角坐标系，设.则，显然平面的法向量，设平面的法向量为，.，由图形观察可知，平面与平面所成的二面角的平面角为锐角.平面与平面所成的二面角大小为45.【点睛】本题主要考查立体几何中面面垂直的证明以及求解二面角大小，难度一般，通常可采用几何方法和向量方法两种进行求解.19.在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由个人依次出场解密，每人限定时间是分钟内，否则派下一个人.个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败.根据甲以往解密测试
17、情况，抽取了甲次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图.（1）若甲解密成功所需时间的中位数为，求、的值，并求出甲在分钟内解密成功的频率；（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为，其中表示第个出场选手解密成功的概率，并且定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立.求该团队挑战成功的概率；该团队以从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目的分布列与数学期望.【答案】（1），甲在分钟内解密成功的频率；（2）；详见解析，.【解析】【分析】（1）根据中位数左右两边的矩形面积之和均为可求得、的值，并根据频率分
18、布直方图求得甲在分钟内解密成功的频率；（2）由（1）得出，求出、的值，由此得出该团队挑战成功的概率为；由题意可得出随机变量的可能取值有、，利用独立事件的概率乘法公式计算出随机变量在不同取值下的概率，据此可得出随机变量的分布列，结合期望公式可计算出的数学期望值.【详解】（1）甲解密成功所需时间的中位数为，解得，解得，由频率分布直方图知，甲在分钟内解密成功的频率是；（2）由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为，第二个出场选手解密成功的概率为，第三个出场选手解密成功的概率为，所以该团队挑战成功的概率为；由可知按从小到大的顺序的概率分别、，根据题意知的取值为、，则，所以所需派出的人员数目的分
19、布列为：因此，.【点睛】本题考查利用频率分布直方图中的中位数求参数，同时也考查概率的计算、随机变量分布列以及数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题.20.如图，设抛物线C1:的准线1与x轴交于椭圆C2：的右焦点F2，F1为C2的左焦点.椭圆的离心率为，抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，连接PF1并延长其交C1于点Q，M为C1上一动点，且在P，Q之间移动.（1）当取最小值时，求C1和C2的方程；（2）若PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，当MPQ面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP的方程.【答案】（1）,；（2）面积最大值为，此时.【解析】【分析】（1）由题意，和，得到，根据
20、取最小值时，即可求得抛物线和椭圆的方程；（2）用表示出椭圆的方程，联立方程组得出点的坐标，计算出的三边关于的式子，从而确定实数的值，求出得距离和到直线的距离，利用二次函数的性质，求得面积取最大值，即可求解【详解】（1）由题意，抛物线的准线方程为，椭圆的右焦点，所以，又由，则，所以取最小值时，所以抛物线C1:，又由，所以椭圆C2的方程为（2）因为，则，设椭圆的标准方程为，联立方程组，得，所以或（舍去），代入抛物线方程得，即，于是，又的边长恰好是三个连续的自然数，所以，此时抛物线方程为，则直线PQ的方很为，联立，得或（舍去），于是.所以，设到直线的距离为，则，当时，所以的面积最大值为，此时MP：.
21、【点睛】本题主要考查椭圆和抛物线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等21.已知函数，其中为常数（1）若直线是曲线的一条切线，求实数的值；（2）当时，若函数在上有两个零点求实数的取值范围【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）设切点， 由题意得，解方程组即可得结果；（2）函数在上有两个零点等价于，函数 的图象与直线有两个交点，设，利用导数可得函数在处取得极大值，结合，
22、从而可得结果.【详解】（1）函数的定义域为，曲线在点处的切线方程为. 由题意得 解得，.所以的值为1.（2）当时，则，由，得，由，得，则有最小值为，即，所以，由已知可得函数 的图象与直线有两个交点，设，则，令，由，可知，所以在上为减函数，由，得时，当时，即当时，当时，则函数在上为增函数，在上为减函数，所以，函数在处取得极大值，又，所以，当函数在上有两个零点时，的取值范围是，即.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的零点，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3)
23、巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）若直线与，轴的交点分别为，点在上，求的取值范围；（）若直线与交于，两点，点的直角坐标为，求的值.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）利用参数方程表示出目标式，结合三角函数知识求解；（）把直线的参数方程代入曲线，结合参数的几何意义可求.【详解】（）由题意可知：直线的普通方程为.的方程可化为，设点的坐标为，. （）曲线直角坐标方程为：.直线的标准参数方程为（为参数），代入得：设两点对应的参数分别为 ,故异号.【点
24、睛】本题主要考查极坐标和直角坐标之间的转化及参数方程的应用，利用参数的几何意义能简化计算过程，达到事半功倍的效果.23.已知函数, (1)当时，求不等式的解集；（2）若，都有恒成立，求的取值范围【答案】（1） ；（2）【解析】【分析】（1）当 时，f（x）|2x|+|2x+3|-2 ，分段解不等式即可（2）f（x）|2x|+|2x+3|+m 当时，得 ，当时，得，利用恒成立求最值，可得m的取值范围【详解】（1）当m2时，f（x）|2x|+|2x+3|-2当，解得；当恒成立当解得2，此不等式的解集为（2）当x（，0）时f（x）|2x|+|2x+3|+m当时，得恒成立，由当且仅当即时等号成立，当时，得恒成立，令， ，在上是增函数当时，取到最大值为.又， 所以【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，考查利用恒成立求参数的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
