1、七二项式系数的性质(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)已知(其中n15)的展开式中第9项,第10项,第11项的二项式系数成等差数列.则下列结论正确的是()A.n的值为14B.展开式中常数项为第8项C.展开式中有理项有3项D.二项式系数最大的项是第7项【解析】选AC.由题意2=+,化简得(n-14)(n-23)=0,因为n15,所以n=14.A正确;展开式通项为Tr+1=(0r14,rN),显然其中无常数项,B错误;当r=0,6,12时,=7,6,5为整数,因此展开式中有3项为有理项,C正确;展开式有15项,
2、二项式系数最大的项为第8项,D错误.2.若=a0+a1+a2 019(x+1)2 019,xR,则a13+a232+a2 01932 019的值为()A.-1-22 019B.-1+22 019C.1-22 019D.1+22 019【解析】选A.取x=-1,得到a0=22 019;取x=2,则a0+a13+a232+a2 01932 019=-1.故a13+a232+a2 01932 019=-1-22 019.3.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.210【解析】
3、选C.因为xmyn项的系数为f(m,n)=,所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=+=120.4.的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是()A.-28B.28C.70D.-70【解析】选B.的展开式中只有第5项的二项式系数最大,故n为偶数,展开式共有9项,故n=8.,即,它的展开式的通项公式为Tr+1=(-1)r,令=0,求得r=2,则展开式中的常数项是=28.5.已知=a0+a1x+a2x2+a9x9,则+等于()A.29B.39C.1D.49【解析】选D.展开式的通项Tr+1=,当r为奇数时,ar0,因此,+=1-3(-1)9=49.6.(多选题)
4、在的展开式中,系数最大的项为()A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项【解析】选AC.由二项式定理知,展开式中,二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等.由于二项式系数的最大项为T6,且T6=x5=-,二项式系数等于项的系数的相反数,此时T6的系数最小.而T5=x6=x2,T7=x4=x-2,且=,所以系数最大的项为第5项和第7项.二、填空题(每小题5分,共10分)7.的展开式中各项的二项式系数之和为;各项的系数之和为.【解析】展开式中各项的二项式系数之和为28=256,各项的系数之和为=.答案:2568.已知fn(x)=(1+x)n.若f2 019(x)=a0+a1x+a2 019x2 01
5、9,则a1+a3+a2 017+a2 019的值为;若g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x),则g(x)中含x6项的系数为.【解析】因为fn(x)=(1+x)n,所以f2 019(x)=(1+x)2 019,又f2 019(x)=a0+a1x+a2 019x2 019,所以f2 019(1)=a0+a1+a2 019=22 019,f2 019(-1)=a0-a1+a2 018-a2 019=0,-得:2(a1+a3+a2 017+a2 019)=22 019,所以a1+a3+a2 017+a2 019=22 018.因为g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x),所以g(x)
6、=(1+x)6+2(1+x)7+3(1+x)8,所以g(x)中含x6项的系数为1+2+3=99.答案:22 01899三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知的展开式中二项式系数的最大值是中间的一项,等于70,(1)求n的值.(2)问展开式中系数最大的项是第几项?(3)求(1+2x2)的展开式中的常数项.【解析】(1)由杨辉三角中的数可知当n=8时的行中最大的数是70,所以n=8.(2)的展开式的第r+1项的系数为208-r18r,解不等式组得r=4,所以第5项的系数最大.(3)的展开式的通项为x8-r=(-1)rx8-2r,令8-2r=0得r=4,令8-2r=-2得r=5,所以(1+2x
7、2)的展开式中的常数项是(-1)4+2(-1)5=-42.10.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,展开式(x+y)2m+1的二项式系数的最大值为b,a与b满足13a=7b.(1)求m的值;(2)求(x-y)(x+y)m+2的展开式中x2y7的系数.【解析】(1)由题意知=a,=b,又13a=7b,所以13=7,所以13=7,所以13=7,所以m=6.(2)=,含x2y7的项:x2y7,-y2x2y5,所以展开式中x2y7的系数为1-=-20.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(1-x)10
8、=a0+a1x+a2x2+a10x10,则a1+a3+a5+a7+a9=()A.512B.1 024C.-1 024D.-512【解析】选D.令x=1,得0=a0+a1+a2+a3+a10;令x=-1,得210=a0-a1+a2-a3+a10;两式相减得,-210=2,所以a1+a3+a5+a7+a9=-29=-512.2.在的展开式中,各项系数之和为A,二项式系数之和为B,若A+B=72,则n=()A.3B.4C.5D.6【解析】选A.因为各项系数之和为(1+3)n=4n,二项式系数之和为2n,因为A+B=72,所以4n+2n=72,所以2n=8,所以n=3.3.(多选题)已知(a0)的展开
9、式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是()A.展开式中奇数项的二项式系数和为256B.展开式中第6项的系数最大C.展开式中存在常数项D.展开式中含x15项的系数为45【解析】选BCD.由二项式的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等可知n=10,又展开式的各项系数之和为1 024,即当x=1时,=1 024,所以a=1,所以二项式为=,则二项式系数和为210=1 024,则奇数项的二项式系数和为1 024=512,故A错误;由n=10可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,因为x2与的系数均为1,则该二项式展开
10、式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确;若展开式中存在常数项,由通项Tr+1=x2(10-r)可得2(10-r)-r=0,解得r=8,故C正确;由通项Tr+1=x2(10-r)可得2-r=15,解得r=2,所以系数为=45,故D正确.4.已知展开式的各个二项式系数的和为128,则的展开式中x2的系数为()A.7B.560C.448D.35【解析】选C.因为展开式的各个二项式系数的和为128,所以2n=128,则n=7,即2+n=.设的通项公式为Tr+1=27-r.令=2,则r=1.所以的展开式中x2的系数为26=647=448.二、填空题(每小题5分,共20分)5. (1+)
11、n展开式中的各项系数的和大于8而小于32,则系数最大的项是.【解析】因为8+32,即82n32.所以n=4.所以展开式共有5项,系数最大的项为T3=()2=6x.答案:6x6.(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.【解析】方法一:将(a+x)(1+x)4展开得x5+(a+4)x4+(6+4a)x3+(4+6a)x2+(1+4a)x+a,由题意得1+(6+4a)+(1+4a)=32,解得a=3.方法二:(1+x)4展开式的通项为=xr,由题意可知a(+)+=32,解得a=3.答案:37.的二项展开式中系数最大的是第三项,且aN+,则a=,展开式中二项式系数最大的
12、是第项.【解析】由题意得的二项展开式的通项公式为Tr+1=1r=a9-rx9-r,由第三项的系数最大可得即解得a4,又aN+,所以a=3或4.展开式中二项式系数最大的是和,即为第5项和第6项.答案:3或45和68.在(x+1)的展开式中,各项系数的和为512,则x2项的系数是.(用数字作答)【解析】因为(x+1)的展开式中,各项系数的和为512,所以令x=1,得(1+1)=512,即:2n+1=29,解得n=8,所以原式为:(x+1),所以展开式的通项为Tr+1=,当16-r=1或16-r=2时,符合题意,解得r=6或r=(舍去),所以x2项的系数为=28.答案:28三、解答题(每小题10分,
13、共30分)9.已知(1+3x)n的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,求:(1)展开式中二项式系数最大的项.(2)展开式中系数最大的项.【解析】(1)由已知得+=121,则n(n-1)+n+1=121,即n2+n-240=0,解得n=15,所以,展开式中二项式系数最大的项是T8=(3x)7和T9=(3x)8.(2)Tr+1=(3x)r,由题意得,设第r+1项系数最大,则所以11r12.所以展开式中系数最大的项对应的r=11,12,即展开式中系数最大的项是T12=(3x)11和T13=(3x)12.10.在(3x-2y)20的展开式中,求:(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的
14、项;(3)系数最大的项.【解析】(1)二项式系数最大的项是第11项,T11=310(-2)10x10y10=610x10y10.(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项,于是化简得解得7r8(rN),所以r=8,即T9=31228x12y8是系数绝对值最大的项.(3)由于系数为正的项为y的偶次方项,故可设第2r-1项系数最大,于是化简得解得r=5,即25-1=9项系数最大.T9=31228x12y8.11.已知,(1)若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数;(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.【解析】(1)通项Tr+1=(2x)r=22r-nxr,由题意知,成等差数列,所以2=+,所以n=14或7.当n=14时,第8项的二项式系数最大,该项的系数为227-14=3 432;当n=7时,第4、5项的二项式系数相等且最大,其系数分别为223-7=,224-7=70.(2)由题意知+=79,所以n=12或n=-13(舍).所以Tr+1=22r-12xr.由得所以r=10.所以展开式中系数最大的项为T11=2210-12x10=(2x)10.
