1、温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元质量评估(三)(第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列求导数运算错误的是()A.(3x)=3xln 3B.(log3 x)=C.=D.(x2ln x)=2xln x+x【解析】选C.(3x)=3xln 3,A对;(log3x)=log3e=,B对;(x2ln x)=(x2)ln x+x2(ln x)=2xln x+x,D对;=,C错.2.若函数f(x)=2-cos x
2、,则f()等于()A.sin B.cos C.2+sin D.2-sin 【解析】选A.f(x)=(2-cos x)=sin x,当x=时,f()=sin .3.函数y=+ln x的单调递减区间是()A.(0,+)B.(0,1)C.(-,1)D.(-,0)和(0,1)【解析】选B.y=-+=(x0),因为当0x1时,y1时y0.所以y=+ln x的单调递减区间为(0,1).4.(2019全国卷)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1【解析】选D.令f(x)=aex+xl
3、n x,则f(x)=aex+ln x+1,f(1)=ae+1=2,得a=e-1.f(1)=ae=2+b,可得b=-1.5.过点(0,1)且与曲线y=在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为()A.2x+y-1=0B.x-2y+2=0C.x+2y-2=0D.2x-y+1=0【解析】选D.y=,所以y|x=3=-,故与切线垂直的直线斜率为2,所求直线方程为y-1=2x,即2x-y+1=0.6.若曲线f(x)=x3+ax在点(0,f(0)处的切线与2x-y-1=0平行,则a的值为()A.-2B.0C.1D.2【解析】选D.由函数f(x)=x3+ax,得f(x)=3x2+a,因为函数f(x)=x3+ax
4、在点(0,f(0)处的切线与2x-y-1=0平行,所以f(0)=2,解得a=2.7.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为p元,销售量为Q,则销售Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170p-p2,则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)()A.30元B.60元C.28 000元D.23 000元【解析】选D.设毛利润为L(p),由题意知L(p)=pQ-20Q=Q(p-20)= (8 300-170p-p2)(p-20)=-p3-150p2+11 700p-166 000,所以L(p)=-3p2-300p+11 700.令L(p)=0,解得
5、p=30或p=-130(舍).此时L(30)=23 000,因为在p=30附近的左侧L(p)0,右侧L(p)0.所以L(30)是极大值也是最大值.8.函数f(x)=,若a=f(4),b=f(5.3),c=f(6.2),则()A.abcB.cbaC.cabD.bac【解析】选B.因为f(x)=,所以f(x)=,当x3时,f(x)0恒成立,于是函数f(x)=在3,+)上单调递减,所以cb0,g(x)是增函数,在(1,+)内,g(x)0时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是()A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-,-1)(-1,0)D.(0,1)(1,+)【解析】选A
6、.记函数g(x)=,则g(x)=,因为当x0时,xf(x)-f(x)0时,g(x) 0,所以g(x)在(0,+)上单调递减;又因为函数f(x)(xR)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(-,0)上单调递增,且g(-1)=g(1)=0.当0x0,则f(x)0;当x-1时,g(x)0,综上所述,使得f(x)0成立的x的取值范围是(-,-1)(0,1).12.已知函数f(x)=-x3-7x+sin x,若f(a2)+f(a-2)0,则实数a的取值范围是()A.(-2,1)B.(-,3)C.(-1,2)D.(-,1)【解析】选A.因为f(x)=-x3-7x+sin x,所以f(-x)=x
7、3+7x-sin x=-f(x),则f(x)是奇函数,又函数的导数f(x)=-3x2-7+cos x0,得f(a2)-f(a-2)=f(2-a),得a22-a,即a2+a-20,得-2a0),若函数f(x)在1,2上为单调函数,则a的取值范围是.【解析】由函数f(x)=-2x2+ln x,得f(x)=-4x+,因为函数f(x)在1,2上为单调函数,所以x1,2时,f(x)0或f(x)0恒成立,即4x-或4x-在x1,2上恒成立,且a0,设h(x)=4x-,因为函数h(x)在1,2上单调递增,所以h(2)=42-=或h(1)=3,解得00)的图象上的动点,该图象在点P处的切线l交y轴于点M,过点
8、P作l的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是.【解析】设P(m,em)(m是变量,且m0),则l:y-em=em(x-m),所以M(0,(1-m)em).过点P作l的垂线,方程为y-em=-e-m(x-m),所以N(0,em+me-m).t=(1-m)em+em+me-m.=em+m(e-m-em),t=(em+e-m)(1-m).所以t在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,所以tmax=.答案:16.已知函数f(x)=x-,g(x)=x2-2ax+4,若对于任意x10,1,存在x21,2,使f(x1)g(x2),则实数a的取值范围是.【解析】由于f(x)=
9、1+0,因此函数f(x)在0,1上单调递增,所以x0,1时,f(x)min=f(0)=-1.根据题意可知存在x1,2,使得g(x)=x2-2ax+4-1,即x2-2ax+50,即a+能成立,令h(x)=+,则要使ah(x)在x1,2能成立,只需使ah(x)min,又函数h(x)=+在x1,2上单调递减,所以h(x)min=h(2)=,故只需a.答案:三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,bR)在x=-3处取得极大值为9.(1)求a,b的值.(2)求函数f(x)在区间-3,3上的最值.【解
10、析】(1)f(x)=x2+2ax+b,依题意得即解得经检验,上述结果满足题意.(2)由(1)得f(x)=x3+x2-3x,所以f(x)=x2+2x-3=(x+3)(x-1),令f(x)0,得x1;令f(x)0,得-3x0)上恒有f(x)x成立,求m的取值范围.【解析】(1)f(x)=3ax2+2bx+c,由已知f(0)=f(1)=0,即解得所以f(x)=3ax2-3ax.所以f=-=.所以a=-2,b=3.所以f(x)=-2x3+3x2.(2)令f(x)x,即-2x3+3x2-x0.所以x(2x-1)(x-1)0.所以0x或x1.又f(x)x在区间0,m上恒成立,所以00,知ax2-2ax+1
11、0在R上恒成立,因此=4a2-4a=4a(a-1)0,由此并结合a0,知00).若a0,则f(x)0,所以此时只有递增区间(0,+).若a0,当f(x)0时,得x,当f(x)0时,得0x0),设h(x)=x2+2x-a(x0).若g(x)在1,e上不单调,则h(1)h(e)0.所以(3-a)(e2+2e-a)0,所以3ag(1)即可.得出:a0,所以x=16为唯一的极大值点,根据实际问题,它为最大值点,即当x=16时盈利最大.所以为获得最大盈利,该厂的日产量应为16件.22.(12分)已知函数f(x)=1+(a-1)x2+aln x.(1)讨论函数f(x)的单调性.(2)当a=1时,f(x)kx恒成立,求实数k的取值范围.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+).f(x)=2(a-1)x+=.当a1时,f(x)0,故f(x)在(0,+)上单调递增;当a0时,f(x)0,故f(x)在(0,+)上单调递减;当0a0,f(x)在0,上单调递增;当x时,f(x)0,所以当a=1时,f(x)kx恒成立1+ln xkxk.令h(x)=,则kh(x)max,因为h(x)=,由h(x)=0得x=1,且当x(0,1)时,h(x)0;当x(1,+)时,h(x)0.所以h(x)在(0,1)上递增,在(1,+)上递减.所以h(x)max=h(1)=1,故k1.关闭Word文档返回原板块
