1、课时作业(三十一)一、选择题1已知平面向量a(1，3)，b(4，2)，若ab与a垂直，则实数()A1 B1 C2 D2解析：ab(4，32)，则(4)(32)(3)0，解得1.答案：B2(2012年济南二模)平面向量a与b的夹角为，a(3,0)，|b|2，则|a2b|()A7 B. C. D3解析：|a2b| .答案：C3已知正方形ABCD的边长为，令a，b，c，则|abc|()A0 B. C2 D4解析：|abc|2|a|2|b|2|c|22ab2bc2ac22442cos 4516，|abc|4.答案：D4函数ytan(x)的部分图象如图所示，则()()A6 B4C4 D6解析：如图，A(
2、2,0)，B(3,1)，()()()221046，选A.答案：A5(2012年江西九校联考)向量a，b均为单位向量，且ab，向量ac与向量bc的夹角为，则向量ac的模长的最大值为()A. B1 C. D2解析：由题意画图：令a，b，c；向量a和向量b的夹角为60，又向量ac和向量bc的夹角为30，故点A、B、C三点在同一个单位圆上当A、O、C三点共线时，|ac|取到最大值，其最大值恰为单位圆的直径长2.故选D.答案：D6关于平面向量a，b，c，有下列命题：(ab)c(ca)b0；|a|b|ab|；(bc)a(ca)b不与c垂直；非零向量a和b满足|a|b|ab|，则a与ab的夹角为30.其中真
3、命题的个数为()A1 B2 C3 D4解析：(ab)c(ca)b0不正确，向量的数量积不满足乘法运算的结合律故上述结论不一定成立|a|b|ab|不正确，也有取等号的可能(bc)a(ca)b不与c垂直不正确，因为前后两个向量的数量积恰好为0，故两向量始终是垂直的非零向量a和b满足|a|b|ab|，则a与ab的夹角为30.是正确的，因为上述三个向量恰好构成一个等边三角形，ab恰好是三角形的角平分线，故a与ab的夹角为30.所以选A.答案：A二、填空题7(2012年佛山质检)已知向量a(1,1)，2ab(4,2)，则向量a，b的夹角为_解析：由a(1,1)，2ab(4,2)，得b(4,2)2(1,1
4、)(2,0)设向量a，b的夹角为，则cos ，.答案：8(2012年安徽)若平面向量a，b满足：|2ab|3，则ab的最小值是_解析：|2ab|34a2b294ab，4a2b24|a|b|4ab94ab4abab.答案：9在正三角形ABC中，D是BC上的点，若AB3，BD1，则_.解析：在ABD中，由余弦定理，得|，则cos .故|cos .答案：三、解答题10设向量a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin )(1)若a与b2c垂直，求tan()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)若tantan16，求证：ab.解：(1)因为a与b2c垂直，所以a(b2
5、c)4cos sin 8cos cos 4sin cos 8sin sin 4sin ()8cos ()0，因此tan()2.(2)由bc(sin cos ，4cos 4sin )，得|bc|4.又当k(kZ)时，等号成立，所以|bc|的最大值为4.(3)由tantan16得，即16cos cos sin sin ，所以ab.11在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设向量m(sin A，cos B)，n(cos A，sin B)(1)若mn，求角C；(2)若mn，B15，a，求边c的大小解：(1)由mnsin Asin Bcos Acos B0cos (AB)0，因为0AB180
6、，所以AB90，C180(AB)90.(2)由mnsin Acos Asin Bcos B0sin 2Asin 2B0，已知B15，所以sin 2Asin 300，sin 2A，因为02A3602B330，所以2A210，A105，C1801510560.根据正弦定理c，因为sin 105sin (4560)，所以c2.12设ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足(2ac)c0.(1)求角B的大小；(2)若b2，试求的最小值解：(1)因为(2ac)c0，所以(2ac)accos Bcabcos C0，即(2ac)cos Bbcos C0，则(2sin Asin C)cos
7、Bsin Bcos C0，所以2sin Acos Bsin (CB)0，即cos B，所以B.(2)因为b2a2c22accos ，所以12a2c2ac3ac，即ac4.当且仅当ac时取等号，此时ac最大值为4.所以accos ac2，即的最小值为2.热点预测13设向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，其中0，若|2ab|a2b|，则()A. B C. D解析：由|2ab|a2b|两边平方整理得3|a|23|b|28ab0.|a|b|1，故ab0，cos cos sin sin 0，即cos ()0，由于0，故0，即.答案：A14已知a(2，1)，b(，3)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是_解析：由ab0，即230，解得，由ab得：6，即6.因此，且6.答案：(，6)15若ABC的面积是30，cos A，则的值为_解析：由cos A，得sin A .又bcsin A30，bc156.bccos A156144.答案：144
