1、版权所有：高考资源网()版权所有：高考资源网()2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2013年长春市高中毕业班第二次调研测试数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.C 2.D 3.B 4.B 5.B 6.C 7.A 8.D 9.D 10.B 11.C 12.D简答与提示：1. C ，则. 故选C.2. D，虚部为. 故选D.3. B由，可得，即，所以，则，故选B.4. B 初始值，第1次循环后，第2次循环后，第3次循环后，此时，因此不进入第4次循环，输出.故选B.5. B由题意可知但，则是的必要不充分条件. 故选B.6. C由的频率为
2、，的频率为，又，的人数成等差，则其频率也成等差，又的频率为，则的频率为0.2. 故选C.7. A. 故选A.8. D由可知，当直线与圆相切时，当时，只有两个公共点，因此. 故选D.9. D，所以，则，. 故选D.10. B 由函数满足可知以点为对称中心，又可知以点为对称中心，因此. 故选B.11. C 由题意可知：，则，因此，不等式两边同时除以得：，即，解得，又双曲线的离心率，因此. 故选C.12. D结合图像分析：当时，则或；对于，存在两个零点；对于，存在两个零点.共计存在4个零点. 故选D.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 14. 15. 16. 54简答与提示：
3、13. 由题意可知，又，则，所以，因此.14. ，因为，所以，所以的值域为.15. 如图所示：落在阴影部分内的概率为.16. 设棱柱高为则底面积，则，令解得，则.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查利用数列性质与递推公式求取数列通项公式以及错位相减求和的应用. 对考生的运算求解能力有较高要求. 【试题解析】解：(1) 对于数列有 得即，时，得，则；(4分)对于数列有：，可得.(6分)(2) 由(1)可知：(8分)则. (12分)18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，对于随机事件出现
4、情况的分析与统计等知识的初步应用. 本题主要考查学生对数据处理的能力.【试题解析】解：记4名数学家分别为，对应的著作分别为，根据题意，不同的连线方法共对应下列24种情况：(4分)其中恰好连对一条的情形有如下8种：恰好连对两条的情形有如下6种：全部连对的情形只有1种：(8分)(1) 恰好连对1条的概率为；(10分)(2) 得分不低于6分即全部连对或恰好连对2条的概率为.(12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：(1)
5、连结交于.因为四边形为平行四边形，且，所以四边形为菱形，则由直四棱柱，所以平面，可知，又，则平面，又平面，则. (6分)(2) . (12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中面积求取知识的综合知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解：(1) 设，则由于菱形的中心在轴上，顶点在轴上，所以，而，所以，.又，所以，即.而不可能在轴上，所以顶点的轨迹的方程为. (5分)(2) 设， (不妨令)，则，则，同理，而，因为，所以，因此即，所以，即直线与的
6、斜率之和为定值. (8分) 因为点横坐标为，且纵坐标大于0，所以，.由于，且轴，所以平分，而，所以，.从而直线，即；直线，即.由消去并整理得，所以，即.同理消去并整理得所以，即.因此为所求.(12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值以及函数零点的情况. 本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：(1) 由，可知；由在处切线方程为可知又由，可知 .由解得，即的解析式为.(5分)由题意，与相切可知函数在原点处切线斜率为1.因为，所以.(7分)(2)若对任意恒成立，即恒成立，则恒成立，设，
7、令，再令，解得.所以当时，所以在上单调递增，所以，即，所以在上单调递增，所以，所以当时，恒成立，且，因此，即可，则. (12分)22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到切割线定理以及三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解(1) 延长交圆于点，连结，则，又，所以，又，可知. 所以根据切割线定理，即. (5分)(2) 过作于，则与相似，从而有，因此. (10分)23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用参数方程对曲线上点到直线距离的求取等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解(1) 对于曲线有，即的方程为：；对于曲线有，所以的方程为.(5分)(2) 显然椭圆与直线无公共点，椭圆上点到直线的距离为：，当时，取最小值为，此时点的坐标为. (10分)24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想. 【试题解析】解 (1) 证明：由得函数的最小值为3，从而，所以成立. (5分)(2) 由绝对值的性质得，所以最小值为，从而，解得，因此的最大值为. (10分)
