1、高二数学试卷 第 1 页 共 6 页营口市普通高中 2020-2021 学年度上学期期末教学质量检测二年级数 学 试 卷（试题卷）试卷说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，考试时间 120 分钟，试卷满分 150 分。第卷一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知|a|4，空间向量e 为单位向量，a,e =23，则空间向量a 在向量e 方向上的投影的数量为()(A)2(B)2(C)12(D)122数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心的距离
2、的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线。已知ABC 的顶点 B(0,1)、C(2,0)，AB=AC，则ABC 的欧拉线方程为()(A)2x 4y 3=0(B)2x+4y+3=0(C)4x 2y 3=0(D)2x+4y 3=03已知向量(1,2)ay、(2,0,3)b、(0,2,1)c 共面，则 y=（）(A)7(B)1(C)72(D)124在直平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，D1AD=DAB=60,则 cosD1AB等于()(A)14(B)34(C)12(D)325已知 A 为抛物线 C:x2=2py（p0）上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 6，到x 轴的距离为 4，则 p=
3、（）(A)2(B)3(C)4(D)6高二数学试卷 第 2 页 共 6 页6如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ADAA11，AB2，点 E 是棱AB 的中点，则点 E 到平面 ACD1的距离为()(A)16(B)13(C)12(D)227双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为 5，则其渐近线方程为()(A)2yx(B)3yx(C)22yx(D)32yx 8已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为 F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为 P，PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形若|PF1|=8，椭圆与双曲线的离心率分别为1e、2e，若1e=25，
4、则2e 等于（）(A)52(B)2(C)3(D)53二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中。有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分9已知直线 l1：(k 3)x(4 k)y10 与 l2：2(k 3)x 2y30 平行，则 k的值可能是()(A)1(B)2(C)3(D)510在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F、G 分别为棱 AA1、C1D1、DD1 的中点，AB=AA1=2，AD=1，则正确的选项是()(A)异面直线 EF 与 BG 所成角的大小为 60(B)异面直线 EF 与 BG 所成角的大小为
5、90(C)点 E 到平面 BGD 的距离为 2 55(D)点 E 到平面 BGD 的距离为55高二数学试卷 第 3 页 共 6 页11已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10.则下列选项正确的是()(A)yx+1的最大值是22；(B)yx+1的最大值是3；(C)过点(1,2)做 x2y24x10 的切线，则切线方程为210 xy(D)过点(1,2)做 x2y24x10 的切线，则切线方程为210 xy 12如图所示，两个椭圆x225y291，y225x291，内部重叠区域的边界记为曲线 C，P 是曲线 C 上的任意一点，下列四个判断中，正确命题为()(A)两个椭圆的离心率相等(B)P 到
6、F1(4,0)，F2(4,0)，E1(0，4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值(C)曲线 C 关于直线 yx，yx 均对称(D)曲线 C 所围区域面积必小于 36第卷三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知直线 l 过点(1,2)，经过第一象限且在两个坐标轴上的截距相等，则直线 l 的方程为_14直线 l：kx y 2k50 与圆 C:(x1)2(y3)29 相交当直线 l 被圆所截得的弦长最短时，直线 l 的方程为_15已知 l，m 是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_16
7、若 A、B、C 是三个雷达观察哨，A 在 B 的正东，两地相距 6km，C 在 A 的北偏东 30，两地相距 4 km，在某一时刻，B 观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为 1km/s，4s 后 A、C 两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出了这种信号的点 P 的坐标_高二数学试卷 第 4 页 共 6 页四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17(本小题满分 10 分)若点(2，m)到直线 5x12y60 的距离是 4，(I)求 m 的值(II)当 m(,0)时，直线 l1:ax y+m=0(a 0)与 l2:mx
8、+ay+6=0 平行，求直线 l1与 l2 之间的距离；18(本小题满分 12 分)如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC2，D 是棱 AC 的中点，且 ABBCBB12.(I)求证：AB1平面 BC1D；(II)求直线 A1B 与平面 BDC1 所成的角的正弦值19(本小题满分 12 分)设圆 C 的圆心在第一象限内且满足：被 x 轴截得的弦长为 2被 y 轴截得的劣弧所对的圆心角为 2圆心到直线2xy=0 的距离为55，(I)求圆 C 的方程(II)过点 P(12,3)作圆的切线，求切线方程高二数学试卷 第 5 页 共 6 页20(本小题满分 12 分)过点 D(2，0)的任
9、一直线 l 与抛物线 C：y2=2px(p0)交于两点 A，B，且OA OB=4(I)求 p 的值；(II)若点 E 的坐标为(2，1)，当EA EB最小时，求直线 l 的方程21(本小题满分 12 分)已知直角梯形 SBCD 中，SDBCBCCD，SD=3BC=3CD=6，过点 B 作 BACD交 SD 于 A(如图 1)，沿 AB 把SAB 折起，使得二面角 SABC 为直二面角，连接 SC，E 为棱 SC 上任意一点(如图 2)(I)求证：平面 EBD平面 SAC：(II)在棱 SC 上是否存在点 E，使得二面角 EBDS 的余弦值为 2 23?若存在，求出点 E 的位置；若不存在，请说
10、明理由高二数学试卷 第 6 页 共 6 页22(本小题满分 12 分)设圆222150 xyx的圆心为 A，直线 l 过点 B（1,0），F 是圆 A 上的任意一点，线段 BF 的垂直平分线与 AF 交于 E 点（I）求出点 E 的轨迹方程；（II）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M,N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围.1参考答案及评分标准1B2C3A4A5C6B7A8B9CD10BC11AD12ACD13x+y10.14x2y12015 若 lm，l，则 m 也可以 若 m，l，则 lm(答案不唯一)1
11、6(8,5 3)17 解：(1)225 2 1264512m(3 分)解得 m=173 或 m=3(5 分)(2)直线 l1:axy3=0 与 l2:3x+ay+6=0 平行，则a3(7 分)所以直线 l1与 l2之间的距离为；332d(10 分)18 解：(1)证明：如图所示，连接 B1C 交 BC1 于点 O，连接 OD.O 为 B1C 的中点，D 为 AC 的中点，ODAB1.(3 分)AB1 平面 BC1D，OD平面 BC1D，AB1平面 BC1D.(6 分)(2)建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz.则 B(0,0,0)，A1(0,2,2)，C1(2,0,2)D(1,1,0)2BA
12、1(0，2,2)，BC1(2,0,2)BD(1,1,0)(8 分)设平面 BDC1 的一个法向量为 n=(x,y,z)100BDBCnn即00 xzxy 令1x 则n=(1,1,1)(10 分)cos n，BA1 nn11BABA0222 2 3 63.所以直线 A1B 与平面 BDC1 所成的角的正弦值为 63(12 分)19 解：(1)设圆心为 C(a,b)，(a0,b0)，半径为 r，则圆的方程为222()()xaybr.1 分由题意可得221 br.2 分2222()2 rar.3 分|2|555ab.4 分由可得22r 5 分11ab 或5717ab (舍去)6 分11ab (舍去)
13、或5717ab (舍去).7 分所求的圆的方程为22(1)(1)2xy.8 分说明：其它解法参照上述评分标准给分(2)当切线的斜率不存在时，切线方程为12x .9 分3当切线的斜率存在时，切线方程为(12)3yk x.10 分即(12)30kxyk而圆的方程为22(1)(1)2xy则21(12)321kkk，解得24k .11 分所以圆的切方程为2 25 210 xy.12 分20(1)没 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l 的方程为 x=ny+2，与抛物线方程联立，并整理得 y2 2pny 4p=0，所以 yl+y2=2pn，yly2=4p，.2 分所以OA OB=xlx2+yly
14、2=22122y y4p+yly2=4 4p=4.5 分所以 P=2.6 分(2)由(1)得 yl+y2=4n，yly2=8x1+x2=n(yl+y2)+4=4n2+4，xlx2=2212y y16=4，.7 分所以EA EB=(x1+2)(x2+2)+(y1 1)(y2 1)=x1x2+2(x1+x2)+4+yly2(y1+y2)+1=4+8n2+8+4 8 4n+1=8n2 4n+9=8(n 14)2+172172，.10 分当且仅当 n=14时，取最小值，此时直线 l 的方程为 x=14y+2，即 4x y 8=0.12 分21(1)证明：由翻折的性质可知，翻折后，SAAB，ADAB所以
15、SAD 为二面角 SABC 的平面角，又因为二面角 SABC 为直二面角，所以SAD=90，即 SAAD又 ABAD=A。所以 SA平面 ABCD，所以 SABD，由题意可知四边形 ABCD 为正方形，所以 BDAC，又因为 ACSA=A，所以 BD平面 SAC，又 BD 平面 EBD，所以平面 EBD平面 SAC(6 分)4(2)存在；以 A 为原点，AB，AD，AS的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则 B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，S(0，0，4)，又知点 E 在线段 SC 上设SE=SC=(2，2，4)(01)，因此 E(2，2，4 4
16、)，又因为 O(1，1，0)所以OS=(l，l，4)，OE=(2 l，2 l，4 4)，(8 分)连接 OE则 OEBD，又 OSBD所以SOE 为二而角 EBDS 的平面角。所以 cosSOE=OS OE|OS|OE|=221 21 24(44)3 22(21)(44)=2 23(10 分)即29 102 244018，解得=12或=92，因为 0l，所以=12，即棱 SC 上否存在点 E，使得二面角 EBDS 的余弦值为 2 23此时点 E 为棱 SC 的中点(12 分)【说明】此题如果求两个平面的法向量，批卷时可参考上述评分标准给分22 解（）因为圆的标准方程为，从而|EF|=|EB|，所以.由题设得，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：(4 分)（）当 与轴重合时，四边形 MPNQ 的面积为 8 3(5 分)5当 与轴不垂直时，设 的方程为，.由得.则，.所以.(8 分)过点且与 垂直的直线：，到的距离为所以.故四边形的面积.可得当 与轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为（12，8 3）.(10 分)当 与轴垂直时，其方程为，四边形的面积为 12.综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为 12，8 3.(12 分)
