1、第三节平行关系1直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)la，a，l，l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)l，l，b，lb2平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)a，b，abP，a，b，性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，a，b，ab1直线与平面平行的判定中易忽视“线在
2、面内”这一关键条件2面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件3如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交试一试1下列说法中正确的是()一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；如果直线l和平面平行，那么过平面内一点和直线l平行的直线在内ABC D解析：选D由线面平行的性质定理知正确；由直线与平面平行的定义知正确；错误，因为经过一点可作一直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面2设l，m，n表示不同的直线，表示不同
3、的平面，给出下列四个命题：若ml，且m，则l；若ml，且m，则l；若l，m，n，则lmn；若m，l，n，且n，则lm.其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4解析：选B易知正确；错误，l与的具体关系不能确定；错误，以墙角为例即可说明；正确，可以以三棱柱为例说明故选B.1转化与化归思想平行问题中的转化关系2判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：(1)利用线面平行的判定定理；(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面练一练1a、b、c为三条不重合的直线，、为三个不重合的平面，现
4、给出四个命题 a a其中正确的命题是()A BC D解析：选C正确错在与可能相交错在a可能在内2如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件_时，有MN平面B1BDD1.解析：由平面HNF平面B1BDD1知，当M点满足在线段FH上有MN平面B1BDD1.答案：M线段FH考点一线面平行、面面平行的基本问题1有互不相同的直线m，n，l和平面，给出下列四个命题：若m，lA，Am，则l与m不共面；若m，l是异面直线，l，m，且nl，nm，则n；若m，n是相交直线，m，m，n，n
5、，则；若l，m，则lm.其中真命题有()A4个B3个C2个 D1个解析：选B由异面直线的判定定理，易知是真命题；由线面平行的性质知，存在直线l，m，使得ll，mm，m，l是异面直线，l与m是相交直线，又nl，nm，nl，nm，故n，是真命题；由线面平行的性质和判定知是真命题；满足条件l，m，的直线m，l或相交或平行或异面，故是假命题，于是选B.2(2013济宁模拟)过三棱柱ABC A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1 平行的直线共有_条解析：过三棱柱ABC A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，
6、E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条答案：6类题通法解决有关线面平行、面面平行的基本问题的注意事项(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确考点二直线与平面平行的判定与性质典例(2013新课标)如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点(1)证明：BC1平面A1CD；(2)设AA1ACCB2，AB2，求三棱锥C A1DE的体积解(1)证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是A
7、B中点，连接DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)因为ABC A1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD.由已知ACCB，D为AB的中点，所以CDAB.又AA1ABA，于是CD平面ABB1A1.由AA1ACCB2，AB2得ACB90，CD，A1D，DE，A1E3，故A1D2DE2A1E2，即DEA1D.所以VC A1DE1.在本例条件下，线段BC1上是否存在一点M使得DM平面A1ACC1？解：存在当M为BC1的中点时成立证明如下：连接DM，在ABC1中，D，M分别为AB，BC1的中点DM綊AC1，又DM平面A1ACC1AC1平面A1ACC1，D
8、M平面A1ACC1.类题通法证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线；(2)利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；(3)注意说明已知的直线不在平面内，即三个条件缺一不可针对训练(2014长春三校调研)如图，已知四棱锥P ABCD的底面为直角梯形，ABCD，DAB90，PA底面ABCD，且PAADDCAB1，M是PB的中点(1)求证：AMCM；(2)若N是PC的中点，求证：DN平面AMC.证明：(1)在直角梯形ABCD中，ADDCAB1，AC，BC，BCAC，又P
9、A平面ABCD，BC平面ABCD，BCPA，又PAACA，BC平面PAC，BCPC.在RtPAB中，M为PB的中点，则AMPB，在RtPBC中，M为PB的中点，则CMPB，AMCM.(2)如图，连接DB交AC于点F，DC綊AB，DFFB.取PM的中点G，连接DG，FM，则DGFM，又DG平面AMC，FM平面AMC，DG平面AMC.连接GN，则GNMC，GN平面AMC，MC平面AMC.GN平面AMC，又GNDGG，平面DNG平面AMC，又DN平面DNG，DN平面AMC.考点三平面与平面平行的判定与性质典例(2013陕西高考)如图，四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中
10、心， A1O底面ABCD，ABAA1.(1)证明：平面 A1BD平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD A1B1D1的体积解(1)证明：由题设知，BB1綊DD1，四边形BB1D1D是平行四边形，BDB1D1.又BD平面CD1B1，BD平面CD1B1.A1D1綊B1C1綊BC，四边形A1BCD1是平行四边形，A1BD1C.又A1B平面CD1B1，A1B平面CD1B1.又BDA1BB，平面A1BD平面CD1B1.(2)A1O平面ABCD，A1O是三棱柱ABD A1B1D1的高又AOAC1，AA1，A1O1.又SABD1，V ABD A1B1D1SABDA1O1.类题通法判断面面平行的常用方法(1)利
11、用面面平行的判定定理；(2)面面平行的传递性(，)；(3)利用线面垂直的性质(l，l)针对训练如图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点求证：(1)平面AD1E平面BGF；(2)D1EAC.证明：(1)E，F分别是B1B和D1D的中点，D1F綊BE.四边形BED1F是平行四边形，D1EBF；又D1E平面BGF，BF平面BGF，D1E平面BGF.FG是DAD1的中位线，FGAD1；又AD1平面BGF，FG平面BGF，AD1平面BGF.又AD1D1ED1，平面AD1E平面BGF.(2)连接BD，B1D1，底面是正方形，ACBD.D1DA
12、C，D1DBDD，AC平面BDD1B1.D1E平面BDD1B1，D1EAC.课堂练通考点1已知直线a，b，平面，则以下三个命题：若ab，b，则a；若ab，a，则b；若a，b，则ab.其中真命题的个数是()A0B1C2 D3解析：选A对于，若ab，b，则应有a或a，所以不正确；对于，若ab，a，则应有b或b，因此不正确；对于，若a，b，则应有ab或a与b相交或a与b异面，因此是假命题综上，在空间中，以上三个命题都是假命题2下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形的序号是()A BC D解析：选C对于图形，平面MNP与AB所在的对角
13、面平行，即可得到AB平面MNP；对于图形，ABPN，即可得到AB平面MNP；图形无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行，故选C.3(2014济南模拟)平面平面的一个充分条件是()A存在一条直线a，a，aB存在一条直线a，a，aC存在两条平行直线a，b，a，b，a，bD存在两条异面直线a，b，a，b，a，b解析：选D若l，al，a，a，则a，a，故排除A.若l，a，al，则a，故排除B.若l，a，al，b，bl，则a，b，故排除C.故选D.4.如图所示，在四面体ABCD中，M，N分别是ACD，BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_解析：连接AM并延长，交CD于E，连接BN，并延长交C
14、D于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E，由，得MNAB.因此，MN平面ABC且MN平面ABD.答案：平面ABC、平面ABD5.如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明：(1)GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC.B，C，H，G四点共面(2)E，F分别为AB，AC的中点，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G綊EB，四边形A1EBG是平行四边形A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面B
15、CHG.A1E平面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.课下提升考能第组：全员必做题1若平面平面，直线a平面，点B，则在平面内且过B点的所有直线中()A不一定存在与a平行的直线B只有两条与a平行的直线C存在无数条与a平行的直线D存在唯一与a平行的直线解析：选A当直线a在平面内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.2(2014石家庄模拟)已知，是两个不同的平面，给出下列四个条件：存在一条直线a，a，a；存在一个平面，；存在两条平行直线a，b，a，b，a，b；存在两条异面直线a，b，a，b，a，b.可以推出的是()A BC D解析：选C对于，平面与还可以相交；对于，当ab时，不一定
16、能推出，所以是错误的，易知正确，故选C.3已知直线l平面，P，那么过点P且平行于直线l的直线()A只有一条，不在平面内B只有一条，且在平面内C有无数条，不一定在平面内D有无数条，一定在平面内解析：选B由直线l与点P可确定一个平面，则平面，有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l，所以lm，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面内，选B.4如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，且PQAC，则下列命题中，错误的是()AACBDBAC截面PQMNCACBDD异面直线PM与BD所成的角为45解析：选C由题意可知PQAC，QMBD，PQQM，所以ACBD，故A正确；由
17、PQAC可得AC截面PQMN，故B正确；由PNBD可知，异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，又四边形PQMN为正方形，所以MPN45，故D正确；而ACBD没有论证来源5.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，G为MC的中点则下列结论中不正确的是()AMCANBGB平面AMNC平面CMN平面AMND平面DCM平面ABN解析：选C显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(如图)，作AN的中点H，连接HB，MH，GB，则MCHB，又HBAN，所以MCAN，所以A正确；由题意易得GBMH，又GB平面AM
18、N，MH平面AMN，所以GB平面AMN，所以B正确；因为ABCD，DMBN，且ABBNB，CDDMD，所以平面DCM平面ABN，所以D正确6(2013惠州调研)已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的有_若m，n，则mn；若，则；若m，m，则；若m，n，则mn.解析：若m，n，m，n可以平行，可以相交，也可以异面，故不正确；若，可以相交，故不正确；若m，m，可以相交，故不正确；若m，n，则mn，正确答案：7在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件_时，有平面D1BQ平面PAO.解析：假设Q为CC1的中
19、点，因为P为DD1的中点，所以QBPA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1BPO，又D1B平面PAO，QB平面PAO，所以D1B平面PAO，QB平面PAO，又D1BQBB，所以平面D1BQ平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时，有平面D1BQ平面PAO.答案：Q为CC1的中点8设，为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“m，n，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题，n；m，n；n，m.可以填入的条件有_解析：由面面平行的性质定理可知，正确；当n，m时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确答案：或9(2014保定调研)已
20、知直三棱柱ABC ABC满足BAC90，ABACAA2，点M，N分别为AB，BC的中点(1)求证：MN平面AACC；(2)求三棱锥C MNB的体积解：(1)证明：如图，连接AB，AC，四边形ABBA为矩形，M为AB的中点，AB与AB交于点M，且M为AB的中点，又点N为BC的中点，MNAC，又MN平面AACC，且AC平面AACC，MN平面AACC.(2)由图可知VC MNBVM BCN，BAC90，BC2，又三棱柱ABC ABC为直三棱柱，且AA4，SBCN244.ABAC2，BAC90，点N为BC的中点，ANBC，AN.又BB平面ABC，ANBB，AN平面BCN.又M为AB的中点，M到平面BC
21、N的距离为，VC MNBVM BCN4.10(2013江苏高考)如图，在三棱锥S ABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.证明：(1)因为ASAB，AFSB，垂足为F，所以F是SB的中点又因为E是SA的中点，所以EFAB.因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEGE，所以平面EFG平面ABC.(2)因为平面SAB平面SBC，且交线为SB，又AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC.因为BC平面SBC，所以AFBC.又因为ABBC
22、，AFABA，AF平面SAB， AB平面SAB，所以BC平面SAB.因为SA平面SAB，所以BCSA.第组：重点选做题1在梯形ABCD中，ABCD，AB平面，CD平面，则直线CD与平面内的直线的位置关系只能是()A平行 B平行和异面C平行和相交 D异面和相交解析：选B因为ABCD，AB平面，CD平面，所以CD平面，所以CD与平面内的直线可能平行，也可能异面2(2014汕头质检)若m，n为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是_若m，n都平行于平面，则m，n一定不是相交直线；若m，n都垂直于平面，则m，n一定是平行直线；已知，互相平行，m，n互相平行，若m，则n；若m，n在平面内的射影互相平行，则m，n互相平行解析：为假命题，为真命题，在中，n可以平行于，也可以在内，故是假命题，在中，m，n也可能异面，故为假命题答案：
