1、专题9 系列4选讲第41练 坐标系与参数方程高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.题型分析 高考展望 体验高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 121.(2016课标全国甲)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；解 由xcos，ysin 可得圆C的极坐标方程212cos 110.所以 l 的斜率为 15
2、3 或 153.解析答案 12解 在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R).设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos 110.于是1212cos，1211.(2)直线 l 的参数方程是xtcos，ytsin(t 为参数)，l 与 C 交于 A、B 两点，AB 10，求 l 的斜率.AB|12|122412144cos244.由 AB 10得 cos238，tan 153.12解析答案 解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.2.(2015江苏)已知圆 C 的极坐标方程为 22 2sin4
3、40，求圆 C的半径.圆 C 的极坐标方程为 22 222 sin 22 cos 40，化简，得22sin 2cos 40.则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆 C 的半径为 6.返回 高考必会题型 题型一 极坐标与直角坐标的互化直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则xcos，ysin，2x2y2，tan yxx0.解析答案 点评 a(a0)对应的普通方程为x2y2a2.例 1 在极坐标系中，曲线 C1：(2co
4、s sin)1 与曲线 C2：a(a0)的一个交点在极轴上，求 a 的值.解(2cos sin)1，即 2cos sin 1 对应的普通方程为 2xy10，在 2xy10 中，令 y0，得 x 22.将22，0 代入 x2y2a2 得 a 22.解析答案 变式训练 1 在以 O 为极点的极坐标系中，直线 l 与曲线 C 的极坐标方程分别是 cos(4)3 2和 sin28cos，直线 l 与曲线 C 交于点 A、B，求线段 AB 的长.题型二 参数方程与普通方程的互化 1.直线的参数方程过定点 M(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为xx0tcos，yy0tsin(t 为参数).2
5、.圆的参数方程圆心在点 M(x0，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为xx0rcos，yy0rsin(为参数，02).3.圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x2a2y2b21 的参数方程为xacos，ybsin(为参数).(2)抛物线 y22px(p0)的参数方程为x2pt2，y2pt(t 为参数).(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；例 2(2015 福建)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 x13cos t，y23sin t(t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴)中，直线 l 的方程为 2s
6、in4 m(mR).解析答案 点评(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值.即|12m|22，解得 m32 2.解析答案 解 依题意，圆心C到直线l的距离等于2，解析答案 变式训练 2 已知直线 l 的参数方程为x42t，yt2(t 为参数)，P 是椭圆x24y21 上的任意一点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值.题型三 极坐标、参数方程的综合应用 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等.题型三 极坐标、参数方程的综合应用(1)求C2与C3交点的直角坐标；例 3(2015课标全国
7、)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：xtcos，ytsin(t为参数，t0)，其中 0，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：2sin，曲线 C3：2 3cos.解析答案 点评(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求AB的最大值.因此 A 的极坐标为(2sin，)，B 的极坐标为(2 3cos，).解析答案 解 曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中0.所以 AB|2sin 2 3cos|4sin3.当 56 时，AB 取得最大值，最大值为 4.(1)写出C的直角坐标方程；变式训练 3(2015陕西)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x
8、312t，y 32 t(t 为参数).以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为 2 3sin.解析答案 解 由 2 3sin，得 22 3sin，从而有 x2y22 3y，所以 x2(y 3)23.返回(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.解 设 P312t，32 t，又 C(0，3)，解析答案 则 PC312t 232 t 3 2t212，故当t0时，PC取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3,0).高考题型精练 12345678解析答案 解 由4cos 得24cos，即x2y24x，即(x2)2y24，圆心C(2,0)，1.已知圆的极坐
9、标方程为 4cos，圆心为 C，点 P 的极坐标为(4，3)，求 CP 的长.又由点 P 的极坐标为(4，3)可得点 P 的直角坐标为(2,2 3)，CP 2222 3022 3.解析答案 解 圆8sin 化为直角坐标方程为x2y28y0，即x2(y4)216，2.(2015安徽改编)在极坐标系中，求圆 8sin 上的点到直线 3(R)距离的最大值.直线 3(R)化为直角坐标方程为 y 3x，结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到直线的距离再加上半径.圆心(0,4)到直线 y 3x 的距离为|04|32122，又圆的半径 r4，所以圆上的点到直线的最大距离为6.12345678解析答
10、案(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；3.在极坐标系中，已知三点 M(2，3)、N(2,0)、P(2 3，6).解 由公式xcos，ysin 得 M 的直角坐标为(1，3)，N 的直角坐标为(2,0)，P 的直角坐标为(3，3).12345678解析答案(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上.解 kMN 321 3，kNP3032 3.kMNkNP，M、N、P三点在一条直线上.12345678解析答案 解 直线l的直角坐标方程为yx2，由2cos 24得2(cos2sin2)4，直角坐标方程为x2y24，把yx2代入双曲线方程解得x2，因此交点为(2,0)，其极坐标为(2，).4.(
11、2015重庆改编)已知直线 l 的参数方程为x1t，y1t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos 240，34 54，求直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标.12345678又圆 C 的半径 r2，因此直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 r2d22 2.解析答案 圆C的极坐标方程4cos 化为直角坐标方程是x2y24x0.5.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线 l 的参数方程是xt1，yt3(t为参数)，圆 C 的极坐标方程是 4cos，求直线 l 被圆 C
12、截得的弦长.解 直线 l 的参数方程xt1，yt3(t 为参数)化为直角坐标方程是 yx4，圆 C 的圆心(2,0)到直线 xy40 的距离为 d 22 2.12345678解析答案 6.(2016江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为x112t，y 32 t，(t 为参数)，椭圆 C 的参数方程为xcos，y2sin(为参数).设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长.12345678解析答案(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；7.(2015湖南)已知直线 l：x5 32 t，y 312t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
13、为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos.解 2cos 等价于22cos.将2x2y2，cos x代入即得曲线C的直角坐标方程为x2y22x0.12345678解析答案 设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，MAMB|t1t2|18.(2)设点 M 的直角坐标为(5，3)，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求MAMB 的值.解 将x5 32 t，y 312t代入式，得 t25 3t180.12345678解析答案(1)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；8.已知直线 l 的参数方程是x2t，y4ta(t 为参数)，圆 C 的极坐标方程为 4 2cos4.12345678解析答案(2)若圆上有且仅有三个点到直线 l 的距离为 2，求实数 a 的值.解 直线 l 的参数方程x2t，y4ta 可化为 y2xa，则由圆的半径为 2 2知，圆心(2，2)到直线 y2xa 的距离恰好为 2.所以|6a|5 2，解得 a6 10.返回 12345678
