1、安徽六校教育研究会2016届高三年级学生素质测试理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，复数满足，则（ ）A1 B-1 C D2.设非空集合满足，则（ ）A，有 B，有C，使得 D，使得3.在等差数列中，“”是“数列是单调递增数列”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4.如图，网格纸上每个正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的表面积轴互相垂直的平面有（ ）对A3 B4 C5 D65.在中，的对边分别为，且，则的面积
2、为（ ）A B C D6.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是6，则输入的整数的可能值为（ ）A5 B6 C8 D157.若抛物线（其中角为的一个内角）的准线过点，则的值为（ ）A B C D8.在各项均为正数的等比数列中，成等差数列，是数列的前项的和，则（ ）A1008 B2016 C2032 D40329.已知点分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上异于的另方体的表面积相交所得到的两段弧之和等于（ ）A B C D11.已知函数（且）和函数，若与两图象只有3个交点，则的取值范围是（ ）A B C D12.如图，在扇形中，为弧上且与不重合的一个动点，且，若（）存在最大值，则的取值范围
3、为（ ）A B C D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设，则二项式展开式中的第4项为 .14.若是数列的前项的和，且，则数列的最大值的值为 .15.过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时的值为 .16.对于实数和，定义运算“*”： ，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知函数.（1）试将函数化为的形式，并求该函数的对称中心；（2）若锐角中角所对的边分别为，且，求的取值范围.18. （本小题满分1
4、2分）一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望；（2）求恰好得到分的概率.19. （本小题满分12分）如图，高为3的直三棱柱中，底面是直三角形，为的中点，在线段上，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐角二面角的余弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：已知椭圆和椭圆（为常数）.（1）如图（1），点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，求面积的最小值；（2）如图（2），过椭圆上任意一点作
5、的两条切线和，切点分别为，当点在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.21. （本小题满分12分）已知，.（1）判断函数的单调性，给出你的结论；（2）讨论函数的图象与直线公共点的个数；（3）若数列的各项均为正数，在时，求证：.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，已知圆的半径长为4，两条弦相交于点，若，为的中点，.（1）求证：平分；（2）求的度数.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（其中为参数），以坐标原点为
6、极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）分别写出曲线与曲线的普通方程；（2）若曲线与曲线交于两点，求线段的长.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求不等式；（2）若函数的最小值为，且，求的最小值.参考答案一、选择题ABCBC CABCA DD二、填空题13. 14. 12 15. 16. 三、解答题17.解：（1）由条件得由，解得，又为锐角三角形，故，所以，于是的取值范围是.18.解：（1）所抛5次得分的概率为，其分布列如下（分）（2）令表示恰好得到分的概率，不出现分的唯一情况是得到分以后再掷出一次反面.因为“不出现分”的概率是，“恰好得到分
7、”的概率是，因为“掷一次出现反面”的概率是，所以有，即.于是是以为首项，以为公比的等比数列.所以，即.恰好得到分的概率是.19.解：（1）证明：连结，在中，同理可得：，可知，因此，又由条件，且，平面.（2）在直三棱柱中，因为面，又，由于，所以平面，可得，结合是中点，可知为等腰直角三角形，为直角，因此可以点为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，所以，由（1）知平面的法向量为.设平面的法向量为，则由，得，令，得，所以平面与平面所成的锐角二面角的余弦值.另：此题可以利用作图法找到所求两平面所成锐二面角的平面角为，易得结果.20.解：（1）设，则椭圆在点处的切线方程为令，令，所以又点在椭圆的第一
8、象限上，所以，当且仅当所以当时，三角形的面积的最小值为.（2）设，则椭圆在点处的切线为：又过点，所以，同理点也满足所以都在上，即直线的方程为，又在上，故原点到直线的距离为：，所以直线始终与圆相切.21.解：（1）求导，由得.当时，；当时，所以函数在上是增函数，在上是减函数.（2）当时，函数的图象与直线公共点的个数等价于曲线与直线公共点的个数.令，则，所以.当时，在上是增函数；当时，在上是减函数.所以，在上的最大值为，且，如图：于是当时，函数的图象与直线有2个公共点；当时，函数的图象与直线有1个公共点；当时，函数的图象与直线有0个公共点.（3）由题意，正项数列满足：由（1）知：，即有不等式由已知条件知，故，所以当时，以上格式相乘得：，又，故，即，对也成立，所以有.另：此题也可以用数学归纳法证明，证明如下：当时，即成立；假设时，成立，那么，当时，由（1）知：，即有不等式，于是，即有也成立，综上可知式成立.22.解：（1）由为的中点，得又又故平分（2）连接，由点是弧的中点，则，设垂足为点，则点为弦的中点，连接，则，.23.解：（1）曲线，曲线.（2）联立，得，设，则，于是.故线段的长为.24.解：（1）由知，于是，解得，故不等式的解集为.（2）由条件得，当且仅当时，其最小值，即.又，所以，故的最小值为，此时，.
