1、第一节函数及其表示1函数映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：AB如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)，xA对应f：AB是一个映射2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x
2、)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法3分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数1解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则2易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数3误把分段函数理解为几个函
3、数组成试一试1(2013江西高考)函数y ln(1x)的定义域为()A(0,1)B0,1)C(0,1 D0,1解析：选B根据题意得解得0x1，即所求定义域为0,1)2若函数f(x)则f(f(10)()Alg 101 B2C1 D0解析：选Bf(10)lg 101，故f(f(10)f(1)1212.求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新
4、元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)练一练1设g(x)2x3，g(x2)f(x)，则f(x)等于()A2x1 B2x1C2x3 D2x7答案：D2若f(x)x2bxc，且f(1)0，f(3)0，则f(x)_.答案：x24x3考点一函数与映射的概念1.下列四组函数中，表示同一函数的是()Ayx1与yBy与yCy4lg x与y2lg x2 Dylg x2与ylg答案：D2以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？ (1)f1：y；f2：y1；(2)f1：yf2：xx11x2x2y123(3
5、)f1：y2x；f2：如图所示解：(1)不同函数f1(x)的定义域为xR|x0，f2(x)的定义域为R.(2)同一函数x与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式(3)同一函数理由同(2)类题通法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)2x1，g(t)2t1，h(m)2m1均表示同一函数考点二函数的定义域问题函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分.归纳起来常见的命题角度有：(1)求给定函数解
6、析式的定义域；(2)已知f(x)的定义域，求f(g(x)的定义域；(3)已知定义域确定参数问题.角度一求给定函数解析式的定义域1(1)(2013山东高考)函数f(x) 的定义域为()A(3,0 B(3,1C(，3)(3,0 D(，3)(3,1(2)(2013安徽高考)函数yln的定义域为_解析：(1)由题意，自变量x应满足解得，3x0.(2)要使函数有意义，需即即解得00，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)lg(x1)(3)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xaba
7、x2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x(xR)类题通法求函数解析式常用的方法(1)待定系数法；(2)换元法(换元后要注意新元的取值范围)；(3)配凑法；(4)解方程组法针对训练1已知f(1)x2，求f(x)的解析式解：法一：设t1，则x(t1)2(t1)；代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.故f(x)x21(x1)法二：x2()2211(1)21，f(1)(1)21(11)，即f(x)x21(x1)2设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等实根，且f(x)2x2，求f(x)的解析式解：设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb2x2，a1，
8、b2，f(x)x22xc.又方程f(x)0有两个相等实根，44c0，c1，故f(x)x22x1.考点四分段函数典例(1)已知函数f(x)若f(a)f(1)0，则实数a的值为()A3 B1或3C1 D3或1(2)(2013福建高考)已知函数f(x)则f_.解析(1)f(1)lg 10，所以f(a)0.当a0，则lg a0，a1；当a0.则a30，a3.所以a3或1.故选D.(2)，ftan1，ff (1)2(1)32.答案(1)D(2)2类题通法分段函数“两种”题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解(2)已知函数值或函数值范围求
9、自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论针对训练设函数f(x)若f(x)4，则x的取值范围是_解析：当x4，得2x4，即x4得x24，所以x2或x2.综上可得x2.答案：(，2)(2，)课堂练通考点1下列函数中，与函数y定义域相同的函数为()AyByCyxex Dy解析：选D函数y的定义域为x|x0，选项A中由sin x0xk，kZ，故A不对；选项B中x0，故B不对；选项C中xR，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为x|x02(2014广州调研)
10、已知函数f(x)则f的值是()A9 B.C9 D解析：选Bflog2log2222，ff(2)32.3(2014安徽“江南十校”联考)函数y(x1)0ln(x)的定义域为_解析：由题意知，x(，1)(1,0)答案：(，1)(1,0)4已知f(x)x2pxq满足f(1)f(2)0，则f(1)_.解析：由f(1)f(2)0，得所以故f(x)x23x2.所以f(1)(1)2326.答案：65(2013上海徐汇一模)已知f(x)x21，g(x)(1)求f(g(2)与g(f(2)；(2)求f(g(x)与g(f(x)的表达式解：(1)g(2)1，f(g(2)f(1)0；f(2)3，g(f(2)g(3)2.
11、(2)当x0时，f(g(x)f(x1)(x1)21x22x；当xCx|x且x1 Dx|x且x1解析：选D由题意得解得x且x1，故选D.3(2014温州模拟)设函数f(x)，那么f(2 013)()A27 B9C3 D1解析：选A根据题意，当x5时，f(x)f(x5)，f(2 013)f(3)，而当0x5时，f(x)x3，f(3)3327，故选A.4下列函数中，不满足f(2x)2f(x)的是()Af(x)|x| Bf(x)x|x|Cf(x)x1 Df(x)x解析：选C对于选项A，f(2x)|2x|2|x|2f(x)；对于选项B，f(x)x|x|当x0时，f(2x)02f(x)，当x0时，f(2x
12、)4x22x2f(x)，恒有f(2x)2f(x)；对于选项D，f(2x)2x2(x)2f(x)；对于选项C，f(2x)2x12f(x)1.5根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是()A75,25 B75,16C60,25 D60,16解析：选D因为组装第A件产品用时15分钟，所以15，所以必有43a2，则a的取值范围是_解析：由题知，f(1)213，f(f(1)f(3)326a，若f(f(1)3a2，则96a3a2，即a22a30，解得1a2x5.解：(1)设二次函
13、数f(x)ax2bxc(a0)f(0)1，c1.把f(x)的表达式代入f(x1)f(x)2x，有a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x.2axab2x.a1，b1.f(x)x2x1.(2)由x2x12x5，即x23x40，解得x4或x4或x110如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图像(1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示你能根据图像，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：(1)点A表示无人乘车时收支差额为
14、20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价(3)斜率表示票价(4)图1、2中的票价是2元图3中的票价是4元第组：重点选做题1.具有性质：ff(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：yx；yx；y其中满足“倒负”变换的函数是()A BC D解析：选B对于，f(x)x，fxf(x)，满足；对于，fxf(x)，不满足；对于，f即f故ff(x)，满足综上可知，满足“倒负”变换的函数是.2(2014荆州市质检)若函数f(x)，则(1)_.(2)f(3)f(4)f(2 012)fff_.解析：(1)f(x)f0，1(x1)，1.(2)又f(3)f0，f(4)f0，f(2 012)f0，f(3)f(4)f(2 012)ff0.答案：(1)1(2)0
