1、专题五解析几何第1讲直线与圆(建议用时：60分钟)一、选择题1(2014福建卷)已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则l的方程是()Axy20 Bxy20Cxy30 Dxy30解析圆x2(y3)24的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线xy10垂直，所以直线l的斜率k1.由点斜式得直线l：y3x0，化简得xy30.答案D2“ab”是“直线yx2与圆(xa)2(xb)22相切”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析由直线与圆相切，得，即|ab2|2，所以由ab可推出|ab2|2，即直线与圆相切，充分性成立；反之|ab2|2，解得a
2、b或ab4，必要性不成立答案A3过点(3,1)作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A2xy30 B2xy30C4xy30 D4xy30解析如图，圆心坐标为(1,0)，易知A(1,1)，直线AB一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为，故直线AB的斜率为2，故直线AB的方程为y12(x1)，即2xy30.答案A4(2014青岛质检)已知圆(xa)2(yb)2r2的圆心为抛物线y24x的焦点，且与直线3x4y20相切，则该圆的方程为()A(x1)2y2 Bx2(y1)2C(x1)2y21 Dx2(y1)21解析因为抛物线y24x的焦点坐标为(
3、1,0)，所以a1，b0.又根据1r，所以圆的方程为(x1)2y21.答案C5已知圆的方程为x2y26x8y0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是()A10 B20 C30 D40解析配方可得(x3)2(y4)225，其圆心为(3,4)，半径为r5，则过点(3,5)的最长弦AC2r10，最短弦BD24，且有ACBD，则四边形ABCD的面积为SACBD20.答案B6(2013重庆卷)已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54 B1 C62
4、 D解析两圆心坐标分别为C1(2,3)，C2(3，4)C1关于x轴对称的点C1的坐标为(2，3)，连接C2C1，线段C2C1与x轴的交点即为P点(|PM|PN|)min|C2C1|R1R213454(R1，R2分别为两圆的半径)故选A.答案A7(2013江西卷)过点(，0)引直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A. B C D解析如图，SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB，当AOB时，SAOB面积最大此时O到AB的距离d.设AB方程为yk(x)(k0)可知圆心为(a,0)，半径为，两圆公共弦所在方程为(x2y22ax6)(x2y
5、2)4，即x，所以有222解得a1或1(舍去)答案111(2014绍兴检测)若直线l：4x3y80过圆C：x2y2ax0的圆心且交圆C于A，B两点，O坐标原点，则OAB的面积为_解析由题意知，圆C：x2y2ax0的圆心为.又直线l：4x3y80过圆C的圆心，43080.a4.圆C的方程为x2y24x0，即(x2)2y24.|AB|2r4.又点O(0,0)到直线l：4x3y80的距离d，SOAB|AB|d4.答案12若直线axby1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是_解析由题意知，ab，半径r1，故面积的最小值为.答案三、解答题13已知点A(3,0)，B(3
6、,0)，动点P满足|PA|2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：xy30上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值解(1)设点P的坐标为(x，y)，则2化简可得(x5)2y216，即为所求(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图由直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|，当CQl1时，|CQ|取最小值，|CQ|4，此时|QM|的最小值为4.14在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线xya0交于A，B两点，且OAOB，求a的值解(1)曲线yx26x1
7、与坐标轴的交点为(0,1)，(32，0)故可设圆心坐标为(3，t)，则有32(t1)22t2.解得t1，则圆的半径为3.所以圆的方程为(x3)2(y1)29.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组消去y得到方程2x2(2a8)xa22a10，由已知可得判别式5616a4a20，由根与系数的关系可得x1x24a，x1x2，由OAOB可得x1x2y1y20.又y1x1a，y2x2a.所以2x1x2a(x1x2)a20.由可得a1，满足0，故a1.15已知以点C(tR，t0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点(1)求证：AOB的面积为定值；(2)设直
8、线2xy40与圆C交于点M，N，若|OM|ON|，求圆C的方程；(3)在(2)的条件下，设P，Q分别是直线l：xy20和圆C上的动点，求|PB|PQ|的最小值及此时点P的坐标(1)证明由题设知，圆C的方程为(xt)22t2，化简得x22txy2y0，当y0时，x0或2t，则A(2t,0)；当x0时，y0或，则B，SAOB|OA|OB|2t|4为定值(2)解|OM|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CHMN，C，H，O三点共线，则直线OC的斜率k，t2或t2.圆心为C(2,1)或(2，1)，圆C的方程为(x2)2(y1)25或(x2)2(y1)25，由于当圆方程为(x2)2(y1)25时，直线2xy40到圆心的距离dr，此时不满足直线与圆相交，故舍去，圆C的方程为(x2)2(y1)25.(3)解点B(0,2)关于直线xy20的对称点为B(4，2)，则|PB|PQ|PB|PQ|BQ|，又B到圆上点Q的最短距离为|BC|r32.所以|PB|PQ|的最小值为2，直线BC的方程为yx，则直线BC与直线xy20的交点P的坐标为.
