1、第3讲平面向量(建议用时:60分钟)一、选择题1(2013辽宁卷)已知点A(1,3),B(4,1),则与向量同方向的单位向量为()A.BC.D解析(4,1)(1,3)(3,4),与同方向的单位向量为.答案A2(2013陕西卷)设a,b为向量,则“|ab|a|b|”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析由|a|b|cosa,b|a|b|,则有cosa,b1.即a,b0或,所以ab.由ab,得向量a与 b同向或反向,所以a,b0或,所以|ab|a|b|.答案C3已知向量a与b的夹角为120,|a|3,|ab|,则|b| 等于()A5B4C3D1解析
2、向量a与b的夹角为120,|a|3,|ab|,则ab|a|b|cos 120|b|,|ab|2|a|22ab|b|2.所以1393|b|b|2,则|b|1(舍去)或|b|4.答案B4(2013福建卷)在四边形ABCD中,(1,2),(4,2),则该四边形的面积为()A.B2C5D10解析因为0,所以.所以四边形ABCD的面积S|25.答案C5(2014大连一模)ABC中D为BC边的中点,已知a,b,则在下列向量中与同向的向量是()A.BC.D|b|a|a|b解析()(ab),向量与向量是同向向量答案C6已知非零向量a,b,c满足abc0,向量a与b的夹角为60,且|a|b|1,则向量a与c的夹
3、角为()A30B60C120D150解析因为abc0,所以c(ab)所以|c|2(ab)2a2b22ab22cos 603.所以|c|.又ca(ab)aa2ab1cos 60 ,设向量c与a的夹角为,则cos .又0180,所以150.答案D7在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足|2,则点集P|,|1,R所表示的区域的面积是()A2B2C4D4解析由|2,知cosAOB,又0AOB,则AOB,又A,B是两定点,可设A(,1),B(0,2),P(x,y),由,可得因为|1,所以1,当由可行域可得S02,所以由对称性可知点P所表示的区域面积S4S04,故选D.答案D二、填空题8(20
4、13新课标全国卷)已知两个单位向量a,b的夹角为60,cta(1t)b.若bc0,则t_.解析因为向量a,b为单位向量,又向量a,b的夹角为60,所以ab,由bc0,得bctab(1t)b2t(1t)12t1t 1t0.t2.答案29(2013新课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则_.解析由题意知:()()()()224022.答案210(2013江西卷)设e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为,若ae13e2,b2e1,则向量a在b方向上的射影为_解析a在b方向上的射影为|a|cosa,b.ab(e13e2)2e12e6e1e25.|b|2e1|2.答案11(20
5、14山东卷)在ABC中,已知tan A,当A时,ABC的面积为_解析已知A,由题意得|costan,|,所以ABC的面积S|sin.答案12(2014湖南卷)在平面直角坐标系中,O为原点,A(1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足|1,则|的最大值是_解析设出点D的坐标,求出点D的轨迹后求解设D(x,y),由(x3,y)及|1知(x3)2y21,即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆又(1,0)(0,)(x,y)(x1,y),|.问题转化为圆(x3)2y21上的点与点P(1,)间距离的最大值圆心C(3,0)与点P(1,)之间的距离为,故的最大值为1.答案1三、解答题13如图,在平面直角坐
6、标系xOy中,点A 在x轴正半轴上,直线AB的倾斜角为,|OB|2,设AOB,. (1)用表示点B的坐标及|OA|; (2)若tan ,求的值解(1)由题意,可得点B的坐标为(2cos ,2sin )在ABO中,|OB|2,BAO,B.由正弦定理,得,即|OA|2sin.(2)由(1),得|cos 4sincos .因为tan ,所以sin ,cos .又sinsincos cossin ,故4.14已知ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m(a,b),n(sin B,sin A),p(b2,a2)(1)若mn,求证:ABC为等腰三角形;(2)若mp,边长c2,C,求ABC的
7、面积(1)证明因为mn,所以asin Absin B,即ab(其中R是ABC外接圆的半径),所以ab.所以ABC为等腰三角形(2)解由题意,可知mp0,即a(b2)b(a2)0,所以abab,由余弦定理,知4c2a2b22abcos(ab)23ab,即(ab)23ab40,所以ab4或ab1(舍去)所以SABCabsin C4sin .15如图所示,A,B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点,点P在单位圆上,AOP(0),C点坐标为(2,0),平行四边形OAQP的面积为S.(1)求S的最大值;(2)若CBOP,求sin的值解(1)由已知,得A(1,0),B(0,1),P(cos ,sin ),因为四边形OAQP是平行四边形,所以(1,0)(cos ,sin )(1cos ,sin )所以1cos .又平行四边形OAQP的面积为S|sin sin ,所以S1cos sin sin1.又0,所以当时,S的最大值为1.(2)由题意,知(2,1),(cos ,sin ),因为CBOP,所以cos 2sin .又0,cos2sin21,解得sin ,cos ,所以sin 22sin cos ,cos 2cos2sin2.所以sinsin 2coscos 2sin .