1、第3讲平面向量(建议用时：60分钟)一、选择题1(2013辽宁卷)已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()A.BC.D解析(4，1)(1,3)(3，4)，与同方向的单位向量为.答案A2(2013陕西卷)设a，b为向量，则“|ab|a|b|”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析由|a|b|cosa，b|a|b|，则有cosa，b1.即a，b0或，所以ab.由ab，得向量a与 b同向或反向，所以a，b0或，所以|ab|a|b|.答案C3已知向量a与b的夹角为120，|a|3，|ab|，则|b| 等于()A5B4C3D1解析
2、向量a与b的夹角为120，|a|3，|ab|，则ab|a|b|cos 120|b|，|ab|2|a|22ab|b|2.所以1393|b|b|2，则|b|1(舍去)或|b|4.答案B4(2013福建卷)在四边形ABCD中，(1,2)，(4,2)，则该四边形的面积为()A.B2C5D10解析因为0，所以.所以四边形ABCD的面积S|25.答案C5(2014大连一模)ABC中D为BC边的中点，已知a，b，则在下列向量中与同向的向量是()A.BC.D|b|a|a|b解析()(ab)，向量与向量是同向向量答案C6已知非零向量a，b，c满足abc0，向量a与b的夹角为60，且|a|b|1，则向量a与c的夹
3、角为()A30B60C120D150解析因为abc0，所以c(ab)所以|c|2(ab)2a2b22ab22cos 603.所以|c|.又ca(ab)aa2ab1cos 60 ，设向量c与a的夹角为，则cos .又0180，所以150.答案D7在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|2，则点集P|，|1，R所表示的区域的面积是()A2B2C4D4解析由|2，知cosAOB，又0AOB，则AOB，又A，B是两定点，可设A(，1)，B(0,2)，P(x，y)，由，可得因为|1，所以1，当由可行域可得S02，所以由对称性可知点P所表示的区域面积S4S04，故选D.答案D二、填空题8(20
4、13新课标全国卷)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_.解析因为向量a，b为单位向量，又向量a，b的夹角为60，所以ab，由bc0，得bctab(1t)b2t(1t)12t1t 1t0.t2.答案29(2013新课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.解析由题意知：()()()()224022.答案210(2013江西卷)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若ae13e2，b2e1，则向量a在b方向上的射影为_解析a在b方向上的射影为|a|cosa，b.ab(e13e2)2e12e6e1e25.|b|2e1|2.答案11(20
5、14山东卷)在ABC中，已知tan A，当A时，ABC的面积为_解析已知A，由题意得|costan，|，所以ABC的面积S|sin.答案12(2014湖南卷)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足|1，则|的最大值是_解析设出点D的坐标，求出点D的轨迹后求解设D(x，y)，由(x3，y)及|1知(x3)2y21，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆又(1,0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.问题转化为圆(x3)2y21上的点与点P(1，)间距离的最大值圆心C(3,0)与点P(1，)之间的距离为，故的最大值为1.答案1三、解答题13如图，在平面直角坐
6、标系xOy中，点A 在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为，|OB|2，设AOB，. (1)用表示点B的坐标及|OA|； (2)若tan ，求的值解(1)由题意，可得点B的坐标为(2cos ，2sin )在ABO中，|OB|2，BAO，B.由正弦定理，得，即|OA|2sin.(2)由(1)，得|cos 4sincos .因为tan ，所以sin ，cos .又sinsincos cossin ，故4.14已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2)(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp，边长c2，C，求ABC的
7、面积(1)证明因为mn，所以asin Absin B，即ab(其中R是ABC外接圆的半径)，所以ab.所以ABC为等腰三角形(2)解由题意，可知mp0，即a(b2)b(a2)0，所以abab，由余弦定理，知4c2a2b22abcos(ab)23ab，即(ab)23ab40，所以ab4或ab1(舍去)所以SABCabsin C4sin .15如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，AOP(0)，C点坐标为(2,0)，平行四边形OAQP的面积为S.(1)求S的最大值；(2)若CBOP，求sin的值解(1)由已知，得A(1,0)，B(0,1)，P(cos ，sin )，因为四边形OAQP是平行四边形，所以(1,0)(cos ，sin )(1cos ，sin )所以1cos .又平行四边形OAQP的面积为S|sin sin ，所以S1cos sin sin1.又0，所以当时，S的最大值为1.(2)由题意，知(2,1)，(cos ，sin )，因为CBOP，所以cos 2sin .又0，cos2sin21，解得sin ，cos ，所以sin 22sin cos ，cos 2cos2sin2.所以sinsin 2coscos 2sin .