2015年全国高中数学联赛江西省预赛一、 填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分,请将答案填在答题卡的相应位置.1.若三位数是一个完全平方数,并且其数字和也是完全平方数,则称为超级平方数,这种超级平方数的个数是 2.函数的最大值是 3.已知直线过点,若它被两平行线与所截得的线段长为,则直线的方程为 4. 5.满足的实数的取值范围是 6.若实数,且,则的取值范围是 7.在前一万个正整数构成的集合中,被3除余2,并且被5除余3,被7除余4的元素个数是 8.如图,正四面体的各棱长均为2,分别是棱的中点,以为圆心,1为半径分别在面内作弧,并将两弧各分成五等分,分点顺次为以及,一只甲虫欲从点出发,沿正四面体表面爬行至点,则其爬行的最短距离为 二、 本大题共4小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.9(本小题满分20分)一只正整数数列满足:,证明:数列的任何两项皆互质.10(本小题满分22分)已知为锐角的垂心,在线段上任取一点延长到使,作,其中为垂足,是线段的中点,分别是的外接圆的圆心,圆,圆的另一个交点为.()证明:四点共圆;()证明:四点共圆.11(本小题满分22分)对于任意给定的无理数及实数,证明:圆周上至多只有两个有理点(纵横坐标皆为有理数的点)12(本小题满分22分)从集合中删去个数,使得剩下的元素中,任意两个数之和都不是2015的因数,求的最小值.
