1、2016年陕西省西工大附中第九次适应性数学试卷（文科）一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）A1B1CD2已知全集U，AB，那么下列结论中可能不成立的是（）AAB=ABAB=BC（UA）BD（UB）A3若p：=+k，kZ，q：f（x）=sin（x+）（0）是偶函数，则p是q的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件4设x，2，则sinx的概率为（）ABCD5执行如图所示的程序框图，若输入x=4，则输出y的值为（）ABCD16若非零向量，满足|=|=|+|，则与夹角为（）
2、ABCD7设x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最小值为（）A1B0C1D28已知数列an的通项公式为an=log2（nN*），设其前n项和为Sn，则使Sn5成立的自然数n（）A有最小值63B有最大值63C有最小值31D有最大值319某商场中秋前30天月饼销售总量f（t）与时间t（0t30）的关系大致满足f（t）=t2+10t+16，则该商场前t天平均售出（如前10天的平均售出为）的月饼最少为（）A18B27C20D1610直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最大值为（）
3、A +1B2CD111若0x，0y，且sinx=xcosy，则（）ABCDxy12给出下列命题：在区间（0，+）上，函数y=x1，y=（x1）2，y=x3中有三个是增函数；若logm3logn30，则0nm1；若函数f（x）是奇函数，则f（x1）的图象关于点A（1，0）对称；已知函数则方程有2个实数根，其中正确命题的个数为（）A1B2C3D4二填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13某校开展“向感动中国2015年度人物学习”主题墙报评比，9位评委为A班的墙报，给出的分数如茎叶图所示记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在
4、复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是14椭圆C的两个焦点分别为F1（1，0）和F2（1，0），若该椭圆C与直线x+y3=0有公共点，则其离心率的最大值为15某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为16观察下列式子：根据以上式子可以猜想：1+（n2）三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共5小题，共70分）17已知向量，（1）当时，求2cos2xsin2x的值；（2）求在上的值域18某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体
5、育运动时间的样本数据（单位：小时）（）应收集多少位女生样本数据？（）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：0，2，（2，4，（4，6，（6，8，（8，10，（10，12估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率（）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”附：P（K2k0）0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.87919如图，PA平面ABCD，四边形AB
6、CD是矩形，PA=AB=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动（）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（）证明：无论点E在边BC的何处，都有PEAF20已知椭圆C：（ab0）的离心率为e=，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线xy=0相切（）求椭圆C的标准方程；（）设F1（1，0），F2（1，0），若过F1的直线交曲线C于A、B两点，求的取值范围21已知函数f（x）的导函数f（x）=x2+2ax+b（ab0），且f（0）=0设曲线y=f（x）在原点处的切线l1的斜率为k1，过原点的另一条切线l2的斜率为k2（1）若k1：k2=4：5，求函数f（x）的单调区
7、间；（2）若k2=tk1时，函数f（x）无极值，且存在实数t使f（b）f（12t）成立，求实数a的取值范围选修4-1：几何证明选讲22如图，AB是O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F求证：（1）DEA=DFA；（2）AB2=BEBDAEAC选修4-4：坐标系与参数方程23已知曲线C的极坐标方程是=2sin，设直线l的参数方程是（t为参数）（1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x3|+|xa|，aR（）当a=0时，解关于x的不等式f（x）4；
8、（）若xR，使得不等式|x3|+|xa|4成立，求实数a的取值范围2016年陕西省西工大附中第九次适应性数学试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）A1B1CD【考点】复数的基本概念【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：是纯虚数， 0，解得a=1，故选：A2已知全集U，AB，那么下列结论中可能不成立的是（）AAB=ABAB=BC（UA）BD（UB）A【考点】子集与交集、并集运算的转换【分析】根据题意画出对应的Venn图，根据图进行判断【解答】解：由题意用Venn
9、图表示如下：由图得，有AB=A、AB=B成立，并且（CUA）B、（CUB）A=，故选D3若p：=+k，kZ，q：f（x）=sin（x+）（0）是偶函数，则p是q的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据函数偶函数的性质，利用充分条件和必要条件的对应进行判断即可得到结论【解答】解：若f（x）=sin（x+）（0）是偶函数，则=+k，当=+k时，f（x）=sin（x+）=cos（x+）是偶函数，p是q的充要条件，故选：A4设x，2，则sinx的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】由题意，本题是几何概型的概率求法
10、，只要利用区间长度比即可【解答】解：由已知得到区间，2长度为，而在，2范围内满足sinx的区间为，区间长度为，由几何概型公式得到在区间，2中任意取一个值，则使sinx的概率为；故选：C5执行如图所示的程序框图，若输入x=4，则输出y的值为（）ABCD1【考点】程序框图【分析】根据程序框图依次计算框图运行的x、y值，直到满足条件|yx|1终止运行，输出y值【解答】解：由程序框图得第一次运行y=41=1，第二次运行x=1，y=11=，第三次运行x=，y=（）1=，此时|yx|=，满足条件|yx|1终止运行，输出故选：A6若非零向量，满足|=|=|+|，则与夹角为（）ABCD【考点】平面向量数量积的
11、运算【分析】根据条件利用平方法得=|2，然后根据向量数量积的应用求夹角即可【解答】解：|=|+|，平方得|2=|2+|2+2，即=|2，（）=|2=|2|2=|2，|=|，则cos，=，即，=，故与夹角为，故选：A7设x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最小值为（）A1B0C1D2【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=4x+y得y=4x+z，平移直线y=4x+z，由图象可知当直线y=4x+z经过点A时，直线y=4x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（0，1），此时z=0
12、+1=1，故选：C8已知数列an的通项公式为an=log2（nN*），设其前n项和为Sn，则使Sn5成立的自然数n（）A有最小值63B有最大值63C有最小值31D有最大值31【考点】数列的求和【分析】先有an的通项公式和对数的运算性质，求出Sn，再把Sn5转化为关于n的不等式即可【解答】解：an=log2，Sn=a1+a2+a3+an=log2+log2+log2=log2=log2，又因为Sn5=log2n62，故使Sn5成立的正整数n有最小值：63故选 A9某商场中秋前30天月饼销售总量f（t）与时间t（0t30）的关系大致满足f（t）=t2+10t+16，则该商场前t天平均售出（如前10
13、天的平均售出为）的月饼最少为（）A18B27C20D16【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】先根据y=求出平均销售量的表达式，进而根据均值不等式求得最小值，最后验证t是否符合题意【解答】解：平均销售量y=t+1018当且仅当t=，即t=41，30等号成立，即平均销售量的最小值为18故选A10直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最大值为（）A +1B2CD1【考点】直线与圆的位置关系【分析】根据圆的方程找出圆心坐标和半径，由|OA|=|OB|根据题意可知AOB是等腰直角三角
14、形，根据勾股定理求出|AB|的长度，根据等腰直角三角形的性质可得圆心到直线的距离等于|AB|的一半，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，两者相等即可得到a与b的轨迹方程为一个椭圆，由图形可知点P（a，b）到焦点（0，1）的距离的最大值【解答】解：由圆x2+y2=1，所以圆心（0，0），半径为1所以|OA|=|OB|=1，则AOB是等腰直角三角形，得到|AB|=，则圆心（0，0）到直线ax+by=1的距离为=，2a2+b2=2，即a2+=1因此所求距离为椭圆a2+=1上点P（a，b）到焦点（0，1）的距离，如图得到其最大值PF=+1故选A11若0x，0y，且sinx=xcosy，则
15、（）ABCDxy【考点】任意角的三角函数的定义【分析】由于0x，y，可得0sinxxtanx，由sinx=xcosy，可得cosy=cosx，即yx，再利用倍角公式可得cosy=cos，即可得出【解答】解：0x，y，0sinxxtanx，又sinx=xcosy，cosy=cosx，故yx，又sinx=xcosy，即=xcosycosy=cos，故y，综上所述，故选：C12给出下列命题：在区间（0，+）上，函数y=x1，y=（x1）2，y=x3中有三个是增函数；若logm3logn30，则0nm1；若函数f（x）是奇函数，则f（x1）的图象关于点A（1，0）对称；已知函数则方程有2个实数根，其中
16、正确命题的个数为（）A1B2C3D4【考点】命题的真假判断与应用【分析】由基本初等函数的单调性，可得中的函数只有2个是增函数，故不正确；根据对数的运算法则进行等价变形，可得正确；根据函数图象平移公式，结合奇函数的图象关于原点对称，可得正确；根据指对数的运算法则，结合分类讨论解关于x的方程，可得正确由此可得本题的答案【解答】解：对于，四个函数中y=x1在区间（0，+）上为减函数，y=（x1）2在区间（0，+）上先减后增，可得有2个函数满足增函数条件，故不正确；对于，由logm3logn30，得0log3mlog3n由函数y=log3x是增函数，可得0nm1，故正确；对于，因为f（x）是奇函数，得
17、y=f（x）图象关于原点对称，将函数图象向右平移1个单位，得y=f（x1）的图象关于（1，0）对称，得正确；对于，函数，可得当x=2log32或x=时满足，即方程有2个实数根，可得正确其中的真命题是，共3个故选：C二填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13某校开展“向感动中国2015年度人物学习”主题墙报评比，9位评委为A班的墙报，给出的分数如茎叶图所示记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是1【考点】茎叶图【分析】根据计分规则，利用平均数的
18、计算公式写出平均数的表示形式，即可求出结果【解答】解：由题意知记分员在去掉一个最高分94和一个最低分88后，余下的7个数字的平均数是91，即（89+89+92+93+90+x+92+91）=91，636+x=917，解得x=1故答案为：114椭圆C的两个焦点分别为F1（1，0）和F2（1，0），若该椭圆C与直线x+y3=0有公共点，则其离心率的最大值为【考点】椭圆的简单性质【分析】根据e=，可得a越小e越大而椭圆与直线相切时a最小，将直线方程与椭圆方程联立，即可求得结论【解答】解：由题意，c=1，e=，a越小e越大，而椭圆与直线相切时，a最小，设椭圆为=1，把直线x+y3=0代入，化简整理可得
19、（2m1）x2+6mx+10mm2=0，由=0，解得：m=5，于是a=，e=故答案为：15某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为+【考点】由三视图求面积、体积【分析】该几何体由左右两部分组成：左边是三棱锥，右边是圆柱的一半即可得出【解答】解：该几何体由左右两部分组成：左边是三棱锥，右边是圆柱的一半该几何体的体积=+=故答案为： +16观察下列式子：根据以上式子可以猜想：1+1+1+（n2）【考点】归纳推理【分析】根据规律，不等式的左边是n+1个自然数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，由此可得结论【解答】解：根据规律，不等式的左
20、边是n+1个自然数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第n个不等式应该为1+1+故答案为：1+1+三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共5小题，共70分）17已知向量，（1）当时，求2cos2xsin2x的值；（2）求在上的值域【考点】正弦函数的定义域和值域；三角函数的恒等变换及化简求值【分析】（1）利用向量平行的坐标运算，同角三角函数间的关系，得到tanx的值，然后化简2cos2xsin2x即可（2）先表示出在=（sin2x+），再根据x的范围求出函数f（x）的最大值及最小值【解答】解：（1），（2），函数f
21、（x）的值域为18某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）（）应收集多少位女生样本数据？（）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：0，2，（2，4，（4，6，（6，8，（8，10，（10，12估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率（）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的
22、每周平均体育运动时间与性别有关”附：P（K2k0）0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图【分析】（1）根据分层抽样原理，即可求出应收集的样本数据；（2）根据频率和为1，计算该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率估计值；（3）根据题意得出每周平均体育运动时间与性别的列联表，算得K2，即可得出结论【解答】解：（1）根据题意，得；300=90，所以应收集90位女生的样本数据；（2）由频率分布直方图得；12（0.100+0.025）=0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75；（3
23、）由（2）知，300位学生中有3000.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表，男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300结合列联表可算得K2=4.7623.841；所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”19如图，PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移
24、动（）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（）证明：无论点E在边BC的何处，都有PEAF【考点】直线与平面垂直的性质；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定【分析】（I）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行，由已知条件推导出EFPC，由此能证明EF平面PAC（II）由线面垂直得EBPA，又EBAB，从而EB平面PAB，进而AFBE，由等腰三角形性质得AFPB，从而AF平面PBE，由此能证明无论点E在边BC的何处，都有PEAF【解答】（I）解：当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行PBC中，E、F分别为BC、PB的中点EFPC，又EF不包含于
25、平面PAC，而PC平面PAC，EF平面PAC（II）证明：PA平面ABCD，BE平面ABCD，EBPA，又EBAB，ABAP=A，AB，AP平面PAB，EB平面PAB，又AF平面PAB，AFBE，又PA=PB=1，点F是PB的中点，AFPB，又PBBE=B，PB，BEPBE，AF平面PBEPE平面PBE，AFPE无论点E在边BC的何处，都有PEAF20已知椭圆C：（ab0）的离心率为e=，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线xy=0相切（）求椭圆C的标准方程；（）设F1（1，0），F2（1，0），若过F1的直线交曲线C于A、B两点，求的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）
26、由直线到圆的距离计算出b，再写出标准方程；（）当AB斜率为0时，计算的值，当AB的斜率不为0时，设出AB的方程为：x+1=my，联立方程组，求出的表达式，再计算其范围【解答】解：（）由题意可得圆的方程为x2+y2=b2，直线与圆相切，即b=1，又，及a2=b2+c2，得a=2，所以椭圆方程为（）当直线AB的斜率为0时，A（，0），B（，0）时， =1当直线AB的斜率不为0时，不妨设AB的方程为：x+1=my由得：（m2+2）y22my1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则：，=（x11，y1）（x21，y2）=（my12，y1）（my22，y2）=（my12）（my22）+y1y2=（
27、m2+1）y1y22m（y1+y2）+4=，由、得：的取值范围为21已知函数f（x）的导函数f（x）=x2+2ax+b（ab0），且f（0）=0设曲线y=f（x）在原点处的切线l1的斜率为k1，过原点的另一条切线l2的斜率为k2（1）若k1：k2=4：5，求函数f（x）的单调区间；（2）若k2=tk1时，函数f（x）无极值，且存在实数t使f（b）f（12t）成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（1）利用函数的导数，求出k1=f（0）=b，设l2与曲线y=f（x）的切点为（x0，y0）（x00），利用斜率相等推出b=3a2，化简f（x）=x2+
28、2ax3a2=（x+3a）（xa），通过当a0时，当a0时，分别求解单调区间（2）由（1）若k2=tk1，利用f（x）无极值，求出t的范围，利用f（b）f（12t），推出3a24（1t）（12t），然后求解a的范围【解答】解：（1）由已知，k1=f（0）=b，设l2与曲线y=f（x）的切点为（x0，y0）（x00）则所以，即，则又4k2=5k1，所以3a2+4b=5b，即b=3a2因此f（x）=x2+2ax3a2=（x+3a）（xa）当a0时，f（x）的增区间为（，3a）和（a，+），减区间为（3a，a）当a0时，f（x）的增区间为（，a）和（3a，+），减区间为（a，3a）（2）由（1）若k
29、2=tk1，则，ab0，t1，于是，所以，由f（x）无极值可知，即，所以由f（b）f（12t）知，b12t，即，就是3a24（1t）（12t），而，故，所以，又a0，因此选修4-1：几何证明选讲22如图，AB是O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F求证：（1）DEA=DFA；（2）AB2=BEBDAEAC【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BDBE=BABF，再利用ABCAEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BEBDAEAC【解答】
30、证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以ADB=90，又EFAB，AFE=90，则A，D，E，F四点共圆DEA=DFA（2）由（1）知，BDBE=BABF，又ABCAEF，即ABAF=AEACBEBDAEAC=BABFABAF=AB（BFAF）=AB2选修4-4：坐标系与参数方程23已知曲线C的极坐标方程是=2sin，设直线l的参数方程是（t为参数）（1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值【考点】直线和圆的方程的应用；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程【分析】（1）极坐标直接化为直角坐标，可求结果（
31、2）直线的参数方程化为直角坐标方程，求出M，转化为两点的距离来求最值【解答】解：（1）曲C的极坐标方程可化为：2=2sin，又x2+y2=2，x=cos，y=sin所以，曲C的直角坐标方程为：x2+y22y=0（2）将直线L的参数方程化为直角坐标方程得：令y=0得x=2即M点的坐标为（2，0）又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为（0，1）半径，选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x3|+|xa|，aR（）当a=0时，解关于x的不等式f（x）4；（）若xR，使得不等式|x3|+|xa|4成立，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）由a=0知原不等式为|x3|+|xa|4，分x3、0x3、x0 三种情况，分别求出解集，再取并集，即得所求（）由题意可得|x3|+|xa|的最小值小于4，再由绝对值的意义可得|x3|+|xa|的最小值等于|a3|，故有|a3|4，由此求得实数a的取值范围【解答】解：（）由a=0知原不等式为|x3|+|xa|4，当x3时，有2x34，解得 x当0x3 时，34，无解当x0时，2x+34，解得 x故解集为x|x，或x（）由xR，使得不等式|x3|+|xa|4成立，可得|x3|+|xa|的最小值小于4又|x3|+|xa|（x3）（xa）|=|a3|，|a3|4，4a34，即1a7，故实数a的取值范围为（1，7）2016年8月12日
