1、第一节数列的概念及其函数特性1数列的概念按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项数列一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为an，其中数列的第1项a1也称首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项2数列的分类分类原则类型满足条件按项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系递增数列an1an其中nN递减数列an11，且6Sn(an1)(an2)，nN，求an的通项公式解：由a1S1(a11)(a12)，解得a11或a12，由已知a1S11，因此a12.又由an1Sn1Sn(an11)(an12)(an1)(an2)，得an1an30或an1an.因为an
2、0，故an1an不成立，舍去因此an1an30.即an1an3，从而an是以公差为3，首项为2的等差数列，故an的通项公式为an3n1.考点三由递推关系式求数列的通项公式递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，归纳起来常见的命题角度有：(1)形如an1anf(n)，求an；(2)形如an1anf(n)，求an；(3)形如an1AanB(A0且A1)，求an.角度一形如an1anf(n)，求an1(2012大纲全国卷)已知数列an中，a11，前n项和Snan.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解：(1)由S
3、2a2得3(a1a2)4a2，解得a23a13.由S3a3得3(a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由题设知a11.当n2时，有anSnSn1anan1，整理得anan1.即.ana11(n2)当n1时，a11.综上可知，an的通项公式an.角度二形如an1anf(n)，求an2已知a12，an1an3n2，求an.解：an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)当n1时，a1(311)2符合公式，ann2.角度三形如an1AanB(A0且A1)，求an3已知数列an满足a11，an13an2，求an.解：an13an2
4、，an113(an1)，3，数列an1为等比数列，公比q3，又a112，an123n1，an23n11.类题通法由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an1anf(n)或an1f(n)an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度三)转化为特殊数列求通项考点四数列的函数特性典例(2013长安质检)已知数列an满足a133，an1an2n，则的最小值为()A. B.C10 D21解析由已知条件可知：当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)33242(
5、n1)n2n33，又n1时，a133适合，ann2n33.又n1，令f(n)n1，f(n)在1,5上为减函数，f(n)在6，)上为增函数，又f(5)，f(6)，则f(5)f(6)，故f(n)的最小值为，故选B.答案B类题通法1数列是定义域为正整数集的特殊函数，也具有函数的性质，如周期性，单调性等2求数列的最大(小)项，一般可以先研究数列的单调性，可以用(n2)或(n2)也可以转化为函数最值问题或利用数形结合针对训练(2013太原调研)设函数f(x)数列an满足anf(n)，nN，且数列an是递增数列，则实数a的取值范围是_解析：数列an是递增数列，又anf(n)(nN)，2a|an|(n1,2
6、，)”是“an为递增数列”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B当an1|an|(n1,2，)时，|an|an，an1an，an为递增数列当an为递增数列时，若该数列为2,0,1，则a2|a1|不成立，即知an1|an|(n1,2，)不一定成立故综上知，“an1|an|(n1,2，)”是“an为递增数列”的充分不必要条件2.已知数列an满足an1若a31，则a1的所有可能取值为_解析：当a2为奇数时，a3a241，a25；当a2为偶数时，a3a21，a22；当a1为奇数时，a2a125，a17或a2a122，a14(舍去)；当a1为偶数时，a2a15，a110或a2a12，a14.综上，a1的可能取值为4,7,10.答案：4,7,10
