1、高中同步测试卷(八)章末检测几个重要的不等式(A)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知x(0，)，有不等式：x22，x33，.启发我们可能推广结论为：xn1(nN)，则a的值为()Ann B2n Cn2 D2n12已知0xN BMN CMQ BPQ CPN CM5)时命题成立12利用数学归纳法证明不等式1f(n)(n2，nN)的过程，由nk到nk1时，左边增加了()A1项 Bk项 C2k1项 D2k项题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请
2、把正确的答案填在题中横线上)13顺序和，倒序和，乱序和大小关系是_14已知ab1，则a2b2_15若f(k)1，则f(k1)f(k)_16若f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的递推关系式是_三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知为锐角，a，b均为正实数，求证：(ab)2.18(本小题满分12分)已知x23y24z22，求证：|x3y4z|4.19.(本小题满分12分)已知a，b，c为正数，abc，求证：(1)；(2).20(本小题满分12分)已知正数x，y，z满足xyz1.(1)求证；(2)求4x4y
3、4z2的最小值21.(本小题满分12分)设函数f(x)xxln x，数列an满足0a11，an1f(an)(1)证明：函数f(x)在区间(0，1)上是增函数；(2)证明：anan11.22(本小题满分12分)已知数列an的第一项a15且Sn1an(n2，nN)(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想参考答案与解析1导学号65800057【解析】选A.x,sdo4(n个)，要使和式的积为定值，则必须nna，故选A.2【解析】选B.因为0x0，所以a2b2c20.由排序不等式得：a2ab2bc2ca2bb2cc2a.所以PQ.7【解析】选A.其最大值都
4、是12233420.8【解析】选C.实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an1，因此n1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1aa2.9【解析】选C.当n1时左边有2113项，所以左边所得的代数式为123.10导学号65800059【解析】选C.边数最少的凸n边形是三角形11【解析】选C.由题意知n5，nN，所以应假设nk(k5)时命题成立12导学号65800060【解析】选D.1.所以共增加2k项13倒序和乱序和顺序和14【解析】由柯西不等式，得(ab)2a2(1a2)(1b2)b21，当且仅当时，上式取等号，所以ab，a2b2(1a2)(1b2)，于是a2b2
5、1.【答案】115导学号65800061【解析】f(k1)1，所以f(k1)f(k).【答案】16【解析】因为f(k)122232(2k)2，f(k1)122232(2k)2(2k1)2(2k2)2，所以f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.【答案】f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)217导学号65800062【证明】设m，n(cos，sin)，则|ab|mn|m|n|，所以(ab)2.18【证明】由柯西不等式知(x23y24z2)(134)(x3y4z)2.又因为x23y24z22，所以28(x3y4z)2，所以|x3y4z|4.19【证明】(1)因为ab0，于是，又c0，所以0
6、，从而.同理，因为bc0，于是，因为a0，所以0，于是得.从而.(2)由(1)知0，且abc0，所以，a2b2c2.由排序不等式，顺序和乱序和得.故.20导学号65800063【解】(1)证明：因为x0，y0，z0，所以由柯西不等式得：(y2z)(z2x)(x2y)(xyz)2，又因为xyz1，所以.(2)由均值不等式得4x4y4z23，因为xyz1，所以xyz21zz2，故4x4y4z233，当且仅当xy，z时等号成立，所以4x4y4z2的最小值为3.21导学号65800064【证明】(1)f(x)1(1lnx)lnx.因为x(0，1)，所以lnx0，所以f(x)在(0，1)上为增函数(2)
7、运用数学归纳法证明0an1.当n1时，由于0a11，所以不等式成立假设当nk(k1，kN)时成立，0ak1，则当nk1时，ak1f(ak)akaklnakak(1lnak)因为lnak0，再考查函数g(x)f(x)1xxlnx1.当0x1时，由于g(x)与f(x)有相同的单调性，因此g(x)g(1)0即f(x)1，所以当0ak1时，ak11.综合上述：0ak11.假设归纳成立，即对于任意的n均有0an1，而an1ananlnan，当0an0.因此anan11.22【解】(1)a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，猜想an(2)证明：当n1时，猜想显然成立当n2时，a252225，猜想成立假设nk时猜想成立，即ak52k2(k2，kN)，当nk1时，由已知条件和假设有ak1Ska1a2a3ak551052k2552k152(k1)2.故nk1时猜想也成立根据可知，对任意n2，nN，有an52n2.所以数列an的通项an
