1、单元测评（一）（时间100分钟，满分120分）一、选择题（每小题5分，共50分）1.在方程(为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为()A.(2,-7)B.()C.()D.(1,0)解析：把参数方程化为普通方程时注意范围的等价性,普通方程是y=1-2x2(-1x1),再根据选择肢逐个代入进行验证即可.答案：C2.下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是()A.B.C.D.解析：注意参数范围,可利用排除法.普通方程x2-y=0中的xR,y0,A中x=t0,B中x=cost-1,1,故排除A和B.而C中y=cot2t=,即x2y=1,故排除C.答案：D3.直线3x-4y-9=
2、0与圆(为参数)的位置关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心解析：把圆的参数方程化为普通方程,得x2+y2=4,得到半径为2,圆心为(0,0),再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,即可判断直线和圆的位置关系.答案：D4.参数方程(t为参数)所表示的曲线是()A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线解析：根据参数中y是常数，可知方程表示的是平行于x轴的直线,再利用不等式知识求出x的范围可得x-2或x2,可知方程表示的图形是两条射线.答案：B5.若直线l的参数方程是(t为参数)，则过点（4，-1）且与l平行的直线在y轴上的截距为（）A.4B.-4C.2D.
3、-2解析：设过点（4，-1）的直线方程为 令x=0,得t=-5.代入得y=-1-3=-4.答案：B6.设r0，那么直线xcos+ysin=r与圆(是参数)的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.视r的大小而定解析：根据已知圆的圆心在原点,半径是r,则圆心(0,0)到直线的距离为d=r,恰好等于圆的半径,所以直线和圆相切.答案：B7.设直线l1:(t为参数)，如果为锐角，那么直线l1到直线l2:x+1=0的角是()A.-B.+C.D.-解析：根据方程可知l1的倾斜角为-,l2的倾斜角为,根据直线到角的定义,只需让l1逆时针旋转+即与l2重合.所以直线l1到l2的角为+.答案：B8.直线(t为
4、参数)上与点P(-2,3)的距离等于的点的坐标是()A.(-4,5)B.(-3,4)C.(-3,4)或(-1,2)D.(-4,5)或(0,1)解析：可以把直线的参数方程转化为标准式,或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得将t代入原方程,得所求点的坐标为(-3,4)或(-1,2).答案：C9.已知圆的渐开线(为参数)上有一点的坐标为(3，0)，则渐开线对应的基圆的面积为()A.B.3B.4D.9解析：把已知点(3,0)代入参数方程得由得=tan.代入,得3=r(cos+sin)3cos=r.再代入,得3cossin-tancos=0,即3cossin-sin=0,即sin=0.代
5、入,得r=3.所以基圆的面积为9.答案：D10.半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是()A.B.2C.12D.14解析：根据条件可知圆的摆线的参数方程为(为参数),把y=0代入可得cos=1,所以=2k(kZ).而x=3-3sin=6k.根据选项可知选C.答案：C二、填空题（每小题4分，共20分）11.圆锥曲线(为参数)的准线方程是_.解析：根据条件和三角函数的性质,可知对应的普通方程为=1,表示的曲线是焦点在y轴的双曲线,且对应的a=3,b=2,c=,所以准线方程是y=.答案：y=12.(2005上海试题)将参数方程x=1+2cos,y=2sin(为参数)化为普通方程，所
6、得方程是_.解析：由平方相加得(x-1)2+y2=4.答案：（x-1）2+y2=413.（经典回放）若实数x、y满足x2+y2-2x+4y=0,则x-2y的最大值为_.解析：方程可化为(x-1)2+(y+2)2=5.设(为参数).x-2y=1+cos+4-2sin=5-5sin(-),其中cos=,sin=.当sin(-)=-1时，（x-2y）max=10.答案：1014.直线l经过点M0(1,5)，倾斜角是，且与直线x-y-2=0交于点M，则|M0M|的长为_.解析：直线l的参数方程是(t为参数),代入方程x-y-2=0中,解得t=-(10+6),根据t的几何意义可知|M0M|=|t|=10
7、+6.答案：10+615.在圆的摆线上有点(,0)，那么在满足条件的摆线的参数方程中，使圆的半径最大的摆线上，参数=对应点的坐标为_.解析：首先根据摆线的参数方程(为参数),把点(,0)代入可得cos=1,则sin=0,=2k(kZ),所以r=(kZ).又r0,所以kN*,当k=1时r最大为.再把=代入即可.答案：()三、解答题（共50分）16.（12分）已知圆x2+y2=r2及圆内一点A（a,b）(a、b不同时为零)，求被A平分的弦所在的直线方程.解析：本题主要考查直线被圆截得的弦长中点问题，可以利用直线参数方程中参数t的性质.首先设出直线的参数方程，代入圆的方程，可以得到关于参数t的二次方
8、程，根据参数的性质可知方程两根的和为0.解：设所求直线的参数方程为代入圆的方程x2+y2=r2,整理得t2+2(acos+bsin)t+a2+b2-r2=0.设t1、t2为方程两根，A是中点，t1+t2=0,即acos+bsin=0.tan=-，即k=-.所求直线方程是y-b=-(x-a),即ax+by=a2+b2.17.（12分）A为椭圆上任意一点，B为圆(x-1)2+y2=1上任意一点，求|AB|的最大值和最小值.解析：化普通方程为参数方程,再求出圆心坐标,利用两点间距离公式转化为三角函数求值域问题来解决.解：化普通方程为参数方程(为参数),圆心坐标为C(1,0),再根据平面内两点之间的距
9、离公式可得|AC|=,所以,当cos=时,|AC|取最小值为；当cos=-1时,|AC|取最大值为6.所以,当cos=516时,|AB|取最小值为+1；当cos=-1时,|AB|取最大值为6+1=7.18.(12分)设抛物线y2=4x有内接三角形OAB，其垂心恰为抛物线的焦点，求这个三角形的周长.解析：因为抛物线的焦点恰为三角形的垂心,则抛物线的对称轴即x轴与AB垂直,且A、B关于x轴对称,所以OAB为等腰三角形.解：抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),F为OAB的垂心,所以x轴AB,A、B关于x轴对称.设A(4t2,4t)(t0),则B(4t2,-4t),所以kAF=,kOB=-=-.因为
10、AFOB,所以kAFkOB=(-)=-1.所以t2=.由t0,得t=所以A(5,2).所以|AB|=4,|OA|=|OB|=3,这个三角形的周长为10.19.(14分)已知点M（2，1）和双曲线x2-=1,求以M为中点的双曲线右支的弦AB所在的直线l的方程.解析：这是直线和圆锥曲线的综合应用题,首先可以设出直线的参数方程x=2+tcos,y=1+tsin(t为参数),代入双曲线的方程得到关于t的二次方程,设方程的两根分别为t1、t2,若M为弦AB中点,则有t1+t2=0,可得的方程,从而得到直线的斜率即可得直线的方程.解：设直线l的参数方程是(t为参数),代入双曲线的方程可得关于t的二次方程(2+tcos)2-=1,即(2cos2-sin2)t2+(8cos+2sin)t+5=0,并设弦的两个端点A、B对应的参数分别为t1、t2.由于M是中点,所以t1+t2=0,即=0.所以tan=-4,即直线的斜率是-4.所以直线l的方程是y-1=-4(x-2),即4x+y-9=0.
