1、专题17 共点力平衡问题的解题方法与技巧1平衡问题与正交分解法题型1物体在粗糙水平面上的匀速运动例1如图所示，物体与水平面间的动摩擦因数为0.3, 物体质量为m=5.0kg现对物体施加一个跟水平方向成=37斜向上的拉力F，使物体沿水平面做匀速运动求拉力F的大小解析：物体受四个力：mg 、FN、f、F建立坐标系如图所示将拉力F沿坐标轴分解Fx = F cos Fy = Fsin 根据共点力平衡条件，得X轴： Fx = 0 Fcos f = 0 Y轴： Fy = 0 Fsin + FN mg = 0公式f = FN 将代入 F cos= FN = (mg Fsin ) 解得 F = =归纳解题程序
2、：定物体，分析力建坐标，分解力找依据，列方程解方程，得结果变式1：如果已知 、m、F，求摩擦因数。变式2：如果将斜向上的拉力改为斜向下的推力F，、m、均不变，则推力需要多大，才能使物体沿水平面做匀速运动。结果 F = 23.71N讨论：当增大到某一个角度时，不论多大的推力F,都不能推动物体。求这个临界角。这里的无论多大，可以看成是无穷大。则由上式变形为cossin = 时当 F时，则令cossin = 0 所以有 co t = 或 tan = = tan1 变式3如果先用一个水平拉力F0恰好使物体沿水平面做匀速运动则这个F0有多大？现在用同样大小的力F0推物体，使物体仍然保持匀速运动，则这个推
3、力跟水平方向的夹角多大？解法一：物体受五个力：mg 、 FN、f 、两个 F0。由共点力平平衡条件得当只有一个F0沿水平方向作用时，物体匀速运动 F0 = f = mg 水平方向Fx = 0 F0+ F0cos f = 0竖直方向Fy=0 FN F0sin mg = 0解得 = cot = cot 1 .解法二：物体保持原来的速度匀速运动，则施加推力F0后，增加的动力部分跟增加的阻力部分相等，则有F0 cos = f = Fsin 所以得 co t = 题型2物体在粗糙斜面的匀速运动例2（见教材P65例2）物体A在水平力F1=400N的作用下，沿倾角 =60的斜面匀速下滑，如图所示，物体A受的
4、重力G =400N.求斜面对物体A的支持力和A与斜面间的动摩擦因数解析：物体匀速下滑，摩擦力f沿斜面向上，物体受力： mg ，FN ，fF如图所示建立坐标系，分解mg和F由共点力平衡条件得x轴 mgsin60 fFcos60 = 0y轴 FN mgcos60Fsin60 = 0 公式 f = FN 由f = mg sin60 Fcos60 = 400/2 4000.5 = 146N由FN =mgcos60 + Fsin60 = 546N由 = f / FN = 146 /546 = 0.27变式1如果m、= 60、= 0.27保持不变，要使物体沿斜面向上匀速运动，需要多大的水平推力？解析：物体
5、沿斜面向上做匀速运动，只将动摩擦力f改为沿斜面向下。物体匀速下滑，摩擦力f沿斜面向上，物体受力： mg ，FN ，fF如图所示建立坐标系，分解mg和F由共点力平衡条件得x轴Fcos60fmgsin60= 0y轴 FN mgcos60Fsin60 = 0 公式 f = FN 由以上三式得 F = 1481.5N变式2如果物体A的质量m，A与斜面间的动摩擦因数，斜面倾角=60是已知，假设物体的滑动摩擦力等于它的最大静摩擦力，则水平推力F多大时，物体能保持不动解析：用滑动摩擦力等于最大静摩擦力，当物体恰好不下滑时，最大静摩擦力fmax= FN ,方向沿斜面向上，物体受力： mg ，FN ，fmaxF
6、如图所示建立坐标系，分解mg和F由共点力平衡条件得x轴 mgsin fmaxFcos = 0y轴 FN mgcosFsin = 0 公式 f = FN 由解得 F = 当物体恰好不上滑时，fmax沿斜面向上，物体受力如图所示，在两坐轴上的方程如下x轴Fcosfmaxmgsin= 0y轴 FN mgcosFsin = 0 公式 f = FN 由以上三式解得 F = 要使物体能在斜面上保持静止，则水平推力F的取值范围是F变式练习：如果推力F沿斜面向上，要使物体在斜面上保持静止，则这个推力的取值范围如何？题型3物体沿竖直墙壁运动例3物体与竖直墙壁之间的动摩擦因数为，用一个斜向上的推力F可以使物体沿竖
7、直墙壁做匀速运动，物体质量为m求F的大小解析：题中没有指明运动方向，所以有两种可能情况。物体沿墙壁向上做匀速运动，受力情况及力的分解如图所示。由共点力平衡条件得x轴 F1sin = FN1 y轴 F1cos = mg + f1 公式 f1 = FN1 由得 F1 = 变式1如图所示，物体重10N，物体与竖直墙的动摩擦因数为0.5，用一个与水平成45角的力F作用在物体上，要使物体A静止于墙上，则F的取值是_。 变式2重为30N的物体与竖直墙壁的动摩擦因数为0.4，若用斜向上与水平面成=53的推力F=50N托住物体。物体处于静止，如图所示。这时物体受到的摩擦力是多少？ 题型4质量为5kg的木块放在
8、木板上，当木板与水平方向的夹角为37时,木块恰能沿木板匀速下滑当木板水平放置时，要使木块能沿木板匀速滑动，给木块施加的水平拉力应多大？（sin37=0.6, cos37=0.8,g=10N/kg）.解析：木块沿木板匀速下滑时，有 mgsin = f = mgcos 得 = tan = 0.75当木板在水平状态时，要木块沿木板匀速运动，所施加的水平拉力F = f = mg = 0.75510 N = 37.5N变式题质量为3kg的物体，放在倾角为30的斜面上恰能匀速下滑，若要使该物体物体能否保持匀速运动解析：物体自由地匀速下滑时，有 mgsin mgcos = 0或变为 sin cos = 0当
9、对物体施加一个竖直向下的力F时，将F和mg等效为一个竖直向下的作用力 G = F + mg 则物体沿斜面方向受的合力为 F = GsinGcos = ( F + mg)sin (F+ mg)cos将式代入得 F = F (sin cos ) = 0即物体仍然做匀速运动。变式题：如图所示，一个空木箱恰好能沿斜面匀速下滑现将质量为m的球放到箱子中，这时木箱能否保持匀速运动，这时球与木箱之间的相互作用力有多大？解析：设木箱的质量为M，木箱匀速下滑时，有：gsin gcos = 0在木箱中放一质量为m的小球后，整体受合力为F =( M +m) g sin ( M+m) g cos = mg ( sin
10、 cos ) = 0木箱仍然能保持匀速运动。小球与木箱前壁之间存在弹力，对小球有 FN = mgsin 题型6如图所示，质量为m5kg的物体，置于倾角为q30的粗糙斜面块上，用小等于3N的力推物块，物块仍保持静止，如图（原图所示，则物块所受的摩擦力大小等于( )A5N B4N C3N DN解答：在斜面平面内物体的受力分析如图1-33所示，根据平衡条件得，其中F3N，m0.8kg， =30，代入得 f=5N。本题的正确选项为（A）。题型7如图所示，OA、OB、OC三条轻绳共同连接于O点，A、B固定在天花板上，C端系一重物，绳的方向如图。OA、OB、OC这三条绳能够承受的最大拉力分别为150N、1
11、00N和200N，为保证绳子都不断，OC绳所悬重物不得超过多重？解析：结点O受三个力： FAO 、FBO、 FCO 而平衡，根据任两个力的合力与第三个力等大反向完成矢量图设BO 绳恰好拉断，即 FBO =100N，则FAO = FBO cot 30 = 100N150N，FCO= FBO / sin30= 2 FBO = 200N, CO绳也恰好拉断。所以，在BO和CO还达到承受限度之前，AO绳已被拉断。应设AO绳恰好被拉断，由此得到悬持的重物的最大重力为 G = FAO / cos30 = 150 / /2 = 100N/ 0.8=250N300N，CO绳不会被拉断。所以，CO绳悬挂的重物的
12、最大质量为m， mg = FCOm = FCO / g = 25 kg变式2如图，不计重力的细绳AB与竖直墙夹角为60，轻杆BC与竖直墙夹角为30，杆可绕C自由转动，若细绳承受的最大拉力为200N，轻杆能承受的最大压力为300N，则在B点最多能挂多重的物体？ 题型8（整体法也隔离法的应用）例题如图所示，光滑的金属球B放在纵截面为等腰三角形的物体A与竖直墙壁之间，恰好匀速下滑，已知物体A的重力是B的重力的6倍，不计球跟斜面和墙壁之间摩擦，问：物体A与水平面之间的动摩擦因数是多少？（）变式1如图所示，质量为M的直角三棱柱A放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角为。质量为m的光滑球放在三棱
13、柱和光滑竖直墙壁之间，A和B都处于静止状态，求地面对三棱柱支持力和摩擦力各为多少？变式2如图所示，一个质量为m、顶角为的直角劈和一个质量为M的正方体放在两竖直墙壁之间，若不计摩擦，求地面对正方体的支持力F1，左右墙壁对正方体的压力F2、F3分别是多大？ 变式3如图所示，直角劈A插在墙壁和物体B之间，劈跟竖直墙壁的夹角为37，劈的质量为m1，表面光滑，物体B的质量为 m2，两物体均处于静止状态，求B受到的静摩擦力变式如图所示，一个底面粗糙，质量为m的斜面体静止在水平地面上，斜面体的斜面部分是光滑的，倾角为30。现用一端固定的轻绳系一质量也为m的小球，小球静止时轻绳与斜面的夹角也是30。试求：当斜
14、面体静止时绳的拉力大小？若地面对斜面体的最大静摩擦力等于地面对斜面体支持力的k倍，为了使整个系统始终保持静止状态，k 值必须满足什么条件？题型9例题如图所示，在水平地面上放一木板B，重力为G2=100N，再在木板上放一货箱A，重力为G1=500N，设货箱与木板、木板与地面的动摩擦因数均为0.5，先用绳子把货箱与墙拉紧，如图所示，已知tg=3/4，然后在木板上施一水平力F，想把木板从货箱下抽出来，F至少应为多大？（Fmin= 413.6N）变式1如图所示，物体A、B叠放在倾角为a37的斜面上，并通过细线跨过光滑滑轮相连，细线与斜面平行，两物体质量分别为mA5kg，mB10kg，A、B间动摩擦因数
15、为m10.1，B与斜面间的动摩擦因数为20.2，现对A施一平行于斜面向下的拉力F，使A平行于斜面向下匀速运动，求F的大小。解答 A、B的受力分析如图所示，对于A根据平衡条件可得 F+ mAgsinaT+ f1 ， N1=mAgcosa ， f1=1N1 ， 对于B有 f1 + f2 + mBgsina=T ， N2= N1 + mBgcosa ， f2=2 N2 ， 由以上各式可解得 F =22mAgcos +2(mA+mB)gcos +(mBmA)gsin代入数据可得F=62N。所以沿斜面向下拉力F 的大小为62N。变式2如图，A、B两物体质量相等，B用细绳拉着，绳与倾角的斜面平行。A与B，
16、A与斜面间的动摩擦因数相同，若A沿斜面匀速下滑，求动摩擦因数的值。题型9固定在水平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一小定滑轮，细线一端拴一小球A，另一端绕过定滑轮，今将小球从图示的位置缓慢地拉至B点，在小球到达B点前的过程中，小球对半球的压力N，细线的拉力T的大小变化情况CAN变大，T变大 B.N变小，T变大CN不变，T变小 D.N变大，T变小解析：小球受三个力：mg、T、N ,如图所示。由于T与N的合力与mg等大反向，画矢量图如图所示。力三角形与空间三角形相似，有大, mg、R、h是不变量，小球沿大球面缓慢向上移动，L减小，所以 T减小，N不变。变式1质量为m的小球（半径不计）用一根细绳悬
17、挂在A点，放在半径为R的光滑大球体表面上，悬点A恰好在大球体的球心O的正上方，且悬点到大球面的最小距离为d，d小于细绳的长度若细绳恰与球面相切，求小球对大球面的压力为多大？细绳的张力是多大？变式2如图所示，轻杆AC和BC固定在墙上，AC=90cm，BC =120cm，AB=60cm，在C处挂一个G =10N的路灯，求AC和BC杆所受的力各是多大？变式3一球重为G，固定的竖直大圆环半径为R，轻弹簧原长为L(L2R)，其劲度系数为k，一端固定在圆环最高点，另一端与小球相连，小球套在环上，所有接触面均光滑，则小球静止时，弹簧与竖直方向的夹角为多少？ 变式4如上图，如果已知m、大球半径R、弹簧原长L，
18、求当球静止时弹簧的长度题型10例题（临界问题）3跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B，物体A放在倾角为的斜面上，如图。已知物体A的质量为m，物体A与斜面间的动摩擦因数为（tan），滑轮的摩擦不计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质量取值范围。变式1如图所示，物体的质量为2kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成=600的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围。题型11如图所示，长为5m的细绳的两端分别系于竖立在地面上相距为4m的两杆的顶端A、B，绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重为12N的物体，平衡时，问：绳中的张力T
19、为多少?A点向上移动少许，重新平衡后，绳与水平面夹角，绳中张力如何变化?分析与解：例6中因为是在绳中挂一个轻质挂钩，所以整个绳子处处张力相同。而在例7中，OA、OB、OC分别为三根不同的绳所以三根绳子的张力是不相同的。对于例6分析轻质挂钩的受力如图所示，由平衡条件可知，T1、T2合力与G等大反向，且T1=T2。所以 T1sin +T2sin =T3= G即T1=T2=，而 AOcos+BO.cos= CD，所以 cos =0.8sin=0.6，T1=T2=10N同样分析可知：A点向上移动少许，重新平衡后，绳与水平面夹角，绳中张力均保持不变。变式1如图所示，A、B两物体重均为G =100N，A拴
20、在绕过定滑轮O1的细绳一端，B吊在动滑轮O2上。整个装置静止不动，两个滑轮和细绳的重量及摩擦不计。求绕过动滑轮O2的两细绳间的夹角 。解：动滑轮两边细绳的拉力F1、F2大小相等，动滑轮在三个力作用下平衡（两边绳子的拉力F1、F2和重物向下的拉力F3）。F竖直向下，F1、F2以竖直线为对称轴。由后力与分力的关系，得 2 F1cos ( /2) = F3= G ，F1 = GA =100N，F1 = F2= 100N，所以 cos( /2) = 1/2 =120。变式2如图（a）所示，将一条轻而柔软的细绳一端固定在天花板上的A点，另一端固定在竖直墙上的B点，A、B两点到O点的距离相等，绳的长度为O
21、A的两倍。图（b）所示为一质量和半径中忽略的动滑轮K，滑轮下悬挂一质量为m的重物，设摩擦力可忽略。现将动滑轮和重物一起挂到细绳上，在达到平衡时，绳所受的拉力是多大？解：将滑轮挂到细绳上，对滑轮进行受力分析如图，滑轮受到重力和AK和BK的拉力F，且两拉力相等，由于对称，因此重力作用线必过AK和BK的角平分线。延长AK交墙壁于C点，因KB =KC，所以由已知条件 AK+ KC = AC=2AO，所以图中的角度 =30，此即两拉力与重力作用线的夹角。两个拉力的合力R与重力等值反向，所以： 2 F cos30 = R =G， 所以F = mg/2cos30 = mg/3 。点评：本题中的动滑轮如果换为
22、光滑挂钩，则结果相同。设绳子长度为L=AC，两悬点之间的水平距离为d = AO ，sin = d /L ，所以，当L、d不变时，任由B点在竖直墙壁的一条竖直线上下移动，则角度为定值。滑轮两边绳子拉力F也为定值。对于可以改变两悬点A、B的水平距离的情况，拉力的变化也可由sin = d/L 先分析角度，然后由平衡条件求解。变式3如图所示，一根柔软的轻绳两端分别固定在两竖直的直杆上，绳上用一光滑的挂钩悬挂一重物，AO段中张力大小为T1，BO段张力大小为T2。现将右固定端由B沿杆慢移到B点的过程中，关于两绳中张力大小的变化情况为（ ）AT1变大，T2减小 BT1减小，T2变大CT1、T2均变大 DT1
23、、T2均不变变式4如图所示的装置中，绳子与滑轮的质量不计，滑轮轴上的摩擦不计。A、B两物体的质量分别为m1和m2 ，处于静止状态，则以下说法不正确的是（ ）Am2一定等于m1 Bm2一定大于m1g/2 C1角与2角一定相等D当B的质量m2稍许增加时，1+2一定增大，系统仍能达到平衡状态变式5如图（原图所示，相距4m的两根柱子上拴着一根5m长的细绳，细绳上有一光滑的小滑轮，吊着180N的重物，静止时AO，BO绳所受的拉力各是多少？解答 同一条绳子拉力处处相等，所以T1=T2=T，且与竖直线夹角均为，如图所示，根据平衡条件得 ,2T cos = mg 延长BO至墙于C点，过C作水平线交右墙于D点，
24、根据几何关系得AO=OC，而AO+BO=5m，所以BC=OB+OC=5m，在BCD中，有 cos =3/ 5 由式得 T = 5mg /6 =150N 所以静止时AO、BO绳子所受拉力各是“150N，150N”。题型12例题如图所示，水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有小滑轮B，一轻绳一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m=10kg的重物，则滑轮受到绳子作用力为：A50N B C100N D变式1（对称原理与隔离法）如图所示，重为G的均匀链条。两端用等长的细线连接，挂在等高的地方，绳与水平方向成角。试求：绳子的张力。链条最低点的张力。变式2如图所示，质量为m的小球被三根相同的轻质弹
25、簧a、b、c拉住，c 竖直向下，a、b 、c伸长的长度之比为331，则小球受c的拉力大小为（=120）Amg B0.5mg C1.5mg D3mg.题型12例题如图所示，A、B两小球固定在水平放置的细杆上，相距为l，两小球各用一根长也是l的细绳连接小球C，三个小球的质量都是m求杆对小球A的作用力的大小和方向解答：C球受力如图所示，根据平衡条件有 2Tcos30 =mg 得 T = mg /3 A球受力如图所示，根据平衡条件有 Tsin60=mg=N , Tcos60 =f, 由可得N= 3mg/ 2, f=mg /6因此杆对小球A的作用力F=，代入可得F=mg, 与竖直方向成a角， tan = f / N = /9 。 所以杆对小球A的作用力大小为mg,，方向为竖直向上偏左a角，其中= arctan /9。变式1（对称原理与整体法、隔离法）如图所示。在光滑的水平杆上，穿着两个重均为2N的球A、B，在两球之间夹着一弹簧，弹簧的劲度系数为10N/m，用两条等长的线将球C与A，B相连，此时弹簧被压缩短10cm，两条线的夹角为60。求。杆对A球的支持力多大？ C球的重力多大?
