1、规范练(五)圆锥曲线1已知圆M：x2(y2)21，直线l：y1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且OO16，求证：直线AB恒过定点(1)解设P(x，y)，则(y1)1，x28y.E的方程为x28y.(2)证明设直线AB：ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)将直线AB的方程代入x28y中得x28kx8b0，所以x1x28k，x1x28b.OOx1x2y1y2x1x28bb216，b4，所以直线AB恒过定点(0,4)2如图，已知点A(1，)是离心率为的椭圆C：1(ab0)上的一点，斜率为的直线BD交
2、椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点互不重合(1)求椭圆C的方程；(2)求证：直线AB、AD的斜率之和为定值(1)解由题意，可得e，将(1，)代入1，得1，又a2b2c2，解得a2，b，c，所以椭圆C的方程为1.(2)证明设直线BD的方程为yxm，又A、B、D三点不重合，所以m0.设D(x1，y1)、B(x2，y2)，由得，4x22mxm240，所以8m2640，2m2，x1x2m，x1x2.设直线AB、AD的斜率分别为kAB、kAD，则kADkAB2m(*)将式代入(*)，得2m220，所以kADkAB0，即直线AB、AD的斜率之和为定值0.3椭圆M：1(ab0)的离心率为，且经过点P(1，
3、)过坐标原点的直线l1与l2均不在坐标轴上，l1与椭圆M交于A，C两点，l2与椭圆M交于B，D两点(1)求椭圆M的方程；(2)若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD面积的最小值解(1)依题意有又因为a2b2c2，所以故椭圆M的方程为y21.(2)设直线AC：yk1x，直线BD：yk2x，A(xA，yA)，C(xC，yC)联立得方程(2k1)x220，xx，故|OA|OC|.同理，|OB|OD|.又因为ACBD，所以|OB|OD|，其中k10.从而菱形ABCD的面积S2|OA|OB|2，整理得S4，其中k10.故当k11或1时，菱形ABCD的面积最小，该最小值为.4已知椭圆C的中心为坐标原点
4、O，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且2.(1)求椭圆方程；(2)求m的取值范围解(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上 ，设椭圆方程为1(ab0)，由题意知a2，bc，又a2b2c2，则b，所以椭圆方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，直线l的斜率存在，设其方程为ykxm，与椭圆方程联立，即则(2k2)x22mkxm240，(2mk)24(2k2)(m24)0，由根与系数的关系知又2，即有(x1，my1)2(x2，y2m)x12x2，22，整理得(9m24)k282m2，又9m240时不成立，k20，得m24，此时0.m的取值范围为.
