1、考前强化练5解答题组合练A1.(2019辽宁葫芦岛高三二模,文17)已知数列an是公比为q的正项等比数列,bn是公差d为负数的等差数列,满足1a2-1a3=da1,b1+b2+b3=21,b1b2b3=315.(1)求数列an的公比q与数列bn的通项公式;(2)求数列|bn|的前10项和S10.2.设正项数列an的前n项和Sn满足2Sn=an+1.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=1anan+1,数列bn的前n项和为Tn,求Tn的取值范围.3.(2019河北衡水高三一模,20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab1)离心率为32,直线x=1被椭圆截得的弦长为3.(1)求椭圆方程;(
2、2)设直线y=kx+m交椭圆C于A,B两点,且线段AB的中点M在直线x=1上,求证:线段AB的中垂线恒过定点.4.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1=4,AB=BC=2,AC=22,点M是棱AA1上不同于A,A1的动点.(1)证明:BCB1M;(2)若CMB1=90,判断点M的位置并求出此时平面MB1C把此棱柱分成的两部分几何体的体积之比.5.(2019天津南开高三一模,文)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设与圆O:x2+y2=34相切的直线l交椭圆C于A,B两点(O为坐标原点)
3、,求AOB面积的最大值.6.已知抛物线C1:x2=y,圆C2:x2+(y-4)2=1的圆心为点M.(1)求点M到抛物线C1的准线的距离;(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1于A,B两点,若过M,P两点的直线l垂直于AB,求直线l的方程.参考答案考前强化练5解答题组合练A1.解 (1)由已知,b1+b2+b3=3b2=21,得b2=7,又b1b2b3=(b2-d)b2(b2+d)=(7-d)7(7+d)=343-7d2=315,得d=-2或2(舍去正值),b1=7+2=9,bn=-2n+11,于是1a2-1a3=-2a1.又an是公比为q的等比数列
4、,故1a1q-1a1q2=-2a1,所以2q2+q-1=0,q=-1(舍)或q=12.综上q=12,d=-2,bn=11-2n.(2)设bn的前n项和为Tn,令bn0,由11-2n0,得n5,于是S5=T5=5(b1+b5)2=25.易知,当n6时,bn0,|b6|+|b7|+|b10|=-b6-b7-b10=-(b6+b7+b10)=-(T10-T5)=-(0-25)=25,所以S10=50.2.解 (1)当n=1时,由2S1=a1+1,得a1=1.当n2时,由已知,得4Sn=(an+1)2,4Sn-1=(an-1+1)2,两式作差,得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,又因为an
5、是正项数列,所以an-an-1=2.数列an是以1为首项,2为公差的等差数列,an=2n-1.(2)bn=1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,Tn=b1+b2+bn=121-13+1213-15+1212n-1-12n+1=121-12n+10,得m21+4k2.设A(x1,y1),B(x2,y2),有x1+x2=-8km1+4k2,设AB的中点M为(x0,y0),得x0=-4km1+4k2=1,即1+4k2=-4km,y0=kx0+m=m1+4k2=-14k.AB的中垂线方程为y+14k=-1k(x-1).即y=-1kx-34,故AB的中垂线恒过定点N34
6、,0.4.(1)证明 在ABC中,AB2+BC2=8=AC2,ABC=90,BCAB,BCBB1,BB1AB=B,BC平面ABB1A1,又B1M平面ABB1A1,BCB1M.(2)解 当CMB1=90时,设AM=t(0t4),A1M=4-t,则在RtMAC中,CM2=t2+8,同理:B1M2=(4-t)2+4,B1C2=16+4=20,据B1C2=MB12+MC2,t2+8+(4-t)2+4=20,整理,得t2-4t+4=0,t=2,故M为AA1的中点.此时平面MB1C把此棱柱分成两个几何体为:四棱锥C-ABB1M和四棱锥B1-A1MCC1.由(1)知四棱锥C-ABB1M的高为BC=2,S梯形
7、ABB1M=2+422=6,V锥C-ABB1M=1362=4.又V柱=24=8,V锥B1-A1MCC1=8-4=4,故两部分几何体的体积之比为11.5.解 (1)由题设知,ca=63,bc=2,a2=b2+c2,解得a2=3,b2=1.椭圆C的方程为x23+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).当ABx轴时,|AB|=3.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m.由已知|m|1+k2=32,得m2=34(k2+1),把y=kx+m代入椭圆方程消去y,整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,有x1+x2=-6km3k2+1,x1x2=3(m2-1)3k2+
8、1,|AB|2=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)36k2m2(3k2+1)2-12(m2-1)3k2+1=12(k2+1)(3k2+1-m2)(3k2+1)2=3(k2+1)(9k2+1)(3k2+1)2=3+12k29k4+6k2+1=3+129k2+1k2+6(k0)3+1223+6=4,当且仅当9k2=1k2,即k=33时等号成立.当k=0时,|AB|=3.综上所述|AB|max=2,从而AOB面积的最大值为32.6.解 (1)由题意可知,抛物线的准线方程为y=-14,所以圆心M(0,4)到准线的距离是174.(2)设P(x0,x02),A(x1,x12),B(x2,x22),
9、由题意得x00,x01,x1x2.设过点P的圆C2的切线方程为y-x02=k(x-x0),即y=kx-kx0+x02.则|kx0+4-x02|1+k2=1,即(x02-1)k2+2x0(4-x02)k+(x02-4)2-1=0.设PA,PB的斜率为k1,k2(k1k2),则k1,k2是上述方程的两根,所以k1+k2=2x0(x02-4)x02-1,k1k2=(x02-4)2-1x02-1.将代入y=x2,得x2-kx+kx0-x02=0,由于x0是此方程的根,故x1=k1-x0,x2=k2-x0,所以kAB=x12-x22x1-x2=x1+x2=k1+k2-2x0=2x0(x02-4)x02-1-2x0,kMP=x02-4x0.由MPAB,得kABkMP=2x0(x02-4)x02-1-2x0x02-4x0=-1,解得x02=235,即点P的坐标为235,235,所以直线l的方程为y=3115115x+4.
