1、第三章 概率 3.1 随机事件的概率 3.1.3 概率的基本性质 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解事件间的包含关系和相等关系2理解互斥事件和对应事件的概念及关系(难点、易混点)3会用互斥事件与对立事件的概率公式求概率(重点)4了解并事件与交事件的概念，会进行事件的运算.1通过互斥事件 与 对 立 事 件的学习，体会逻辑推理素养2借助概率的求法，提升数学运算素养.自 主 预 习 探 新 知 1事件的关系与运算(1)事件的关系：定义表示法图示 包含关系一般地，对于事件 A 与事件 B，如果事件 A 发生，则事件 B，这时称事件 B包含事件 A(或称事件A 包含于事件 B)_(或)一定发生AB
2、BA相等关系AB 且 BAAB 事件互斥若 AB 为，则称事件A 与事件 B 互斥_不可能事件AB事件对立若 AB 为 ，AB为 ，那么称事件 A 与事件B 互为对立事件AB且ABU必然事件不可能事件(2)事件的运算：定义表示法图示 并事件若某事件发生当且仅当 ，则称此事件为事件 A与事件 B 的并事件(或和事件)(或 )交事件若某事件发生当且仅当 ，则称此事件为事件 A与事件 B 的交事件(或积事件)(或 )AB事件A发生或ABAB事件A发生且AB事件B发生事件B发生2.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：(2)必然事件的概率为，不可能事件的概率为.(3)概率加法公式为：如果事件 A 与
3、 B 为互斥事件，则 P(AB)(4)若 A 与 B 为对立事件，则 P(A)P(AB)，P(AB).0,110P(A)P(B)1P(B)10思考：在掷骰子的试验中，事件 A出现的点数为 1，事件 B出现的点数为奇数，A 与 B 应有怎样的关系？提示 AB1同时掷两枚硬币，向上面都是正面为事件 A，向上面至少有一枚是正面为事件 B，则有()AAB BABCABDABA 由事件的包含关系知 AB.2掷一枚骰子，观察结果，A向上的点数为 1，B向上的点数为 2，则()AABBABCA 与 B 互斥DA 与 B 对立C 由于事件 A 与 B 不可能同时发生，故 A、B 互斥3一批产品共有 100 件
4、，其中 5 件是次品，95 件是合格品从这批产品中任意抽取 5 件，现给出以下四个事件：事件 A：“恰有一件次品”；事件 B：“至少有两件次品”；事件 C：“至少有一件次品”；事件 D：“至多有一件次品”并给出以下结论：ABC；DB 是必然事件；ABB；ADC.其中正确的序号是()ABCDA AB 表示的事件：至少有一件次品，即事件 C，所以正确，不正确；DB 表示的事件：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以正确；AD 表示的事件：至多有一件次品，即事件 D，所以不正确4一商店有奖促销活动中只有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为 0.1，中二等奖的概率为 0.25，则
5、不中奖的概率为_0.65 中奖的概率为 0.10.250.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为 10.350.65.合 作 探 究 释 疑 难 互斥事件与对立事件的判定【例 1】(1)下列各组事件中，不是互斥事件的是()A一个射手进行一次射击，“命中环数大于 8”与“命中环数小于 6”B统计一个班级数学期中考试成绩，“平均分数不低于 90 分”与“平均分数不高于 90 分”C播种菜籽 100 粒，“发芽 90 粒”与“发芽 80 粒”D检查某种产品，“合格率高于 70%”与“合格率为 70%”(2)从 1,2,3，9 中任取两数，给出下列各组事件：“恰有一个是偶数”和“恰有一个是
6、奇数”；“至少有一个是奇数”和“两个都是奇数”；“至少有一个是奇数”和“两个都是偶数”；“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”其中是对立事件的是()A BCD(1)B(2)C(1)A 中，一个射手进行一次射击，“命中环数大于 8”与“命中环数小于 6”不可能同时发生，故 A 中两事件为互斥事件；B 中，当平均分等于 90 分时，两个事件同时发生，故 B 中两事件不为互斥事件；C 中，播种菜籽 100 粒，“发芽 90 粒”与“发芽 80 粒”不可能同时发生，故 C 中两事件为互斥事件；D 中，检查某种产品，“合格率高于 70%”与“合格率为 70%”不可能同时发生，故 D 中两事件为互斥事
7、件(2)本题考查对立事件的概念 从 1,2,3，9 中任取两数，有以下三种情况：a两个奇数；b.两个偶数；c.一个奇数和一个偶数 所以仅有中的两个事件不能同时发生且必有一个发生互斥事件、对立事件的判定方法 1利用基本概念 互斥事件不可能同时发生；对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生.2利用集合的观点来判断,设事件 A 与 B 所含的结果组成的集合分别是 A，B.事件 A 与 B 互斥，即集合 AB；事件 A 与 B 对立，即集合 AB，且 ABI，即 AIB或 BIA.跟进训练1把黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则事件“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”是()A对立事件B相
8、等事件C互斥但不对立事件D以上说法均不正确C 按黑牌的分配情况分解事件 黑牌分给甲甲分得黑牌分给乙乙分得黑牌分给丙丙分得黑牌 由此可得“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”是互斥但不对立事件，故选 C.事件的关系及运算【例 2】在掷骰子的试验中，可以定义许多事件例如，事件C1出现 1 点，事件 C2出现 2 点，事件 C3出现 3 点，事件 C4出现 4 点，事件 C5出现 5 点，事件 C6出现 6 点，事件 D1出现的点数不大于 1，事件 D2出现的点数大于 3，事件 D3出现的点数小于 5，事件 E出现的点数小于 7，事件 F出现的点数为偶数，事件 G出现的点数为奇数，请根据上述定义的事件，回答
9、下列问题：(1)请列举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件解(1)因为事件 C1，C2，C3，C4 发生，则事件 D3 必发生，所以 C1D3，C2D3，C3D3，C4D3.同理可得，事件 E 包含事件 C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件 D2包含事件 C4，C5，C6；事件 F 包含事件 C2，C4，C6；事件 G 包含事件 C1，C3，C5.且易知事件 C1 与事件 D1 相等，即 C1D1.(2)因为事件 D2出现的点数大于 3出现 4 点或出现 5 点或出现 6 点，所以 D2C4C5C6(或 D2C4C5C6)同理可得，D3C1C2C
10、3C4，EC1C2C3C4C5C6，FC2C4C6，GC1C3C5.事件运算应注意的 2 个问题 1进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用 Venn 图或列出全部的试验结果进行分析.2在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理.跟进训练2盒子里有 6 个红球，4 个白球，现从中任取 3 个球，设事件 A3 个球中有 1 个红球、2 个白球，事件 B3 个球中有 2 个红球、1 个白球，事件 C3 个球中至少有 1 个红球，事件 D3 个球中既
11、有红球又有白球(1)事件 D 与 A，B 是什么样的运算关系？(2)事件 C 与 A 的交事件是什么事件？解(1)对于事件 D，可能的结果为 1 个红球、2 个白球，或 2个红球、1 个白球，故 DAB.(2)对于事件 C，可能的结果为 1 个红球、2 个白球，或 2 个红球、1 个白球，或 3 个红球，故 CAA.互斥事件与对立事件的概率公式及应用 探究问题1在同一试验中，对任意两个事件 A、B，P(AB)P(A)P(B)一定成立吗？提示 不一定，只有 A 与 B 互斥时，P(AB)P(A)P(B)才成立2若 P(A)P(B)1，则事件 A 与事件 B 是否一定对立？试举例说明提示 A 与
12、B 不一定对立例如：掷一枚均匀的骰子，记事件A 为出现偶数点，事件 B 为出现 1 点或 2 点或 3 点，则 P(A)P(B)1，但 A、B 不对立【例 3】在数学考试中，小明的成绩在 90 分(含 90 分)以上的概率是 0.18，在 80 分89 分(包括 89 分，下同)的概率是 0.51，在70 分79 分的概率是 0.15，在 60 分69 分的概率是 0.09，在 60 分以下的概率是 0.07，计算：(1)小明在数学考试中取得 80 分以上的成绩的概率；(2)小明数学考试及格的概率思路点拨：小明的成绩在 80 分以上可以看作是互斥事件“80分89 分”“90 分以上”的并事件，
13、小明数学考试及格可看作是“60 分69 分”“70 分79 分”“80 分89 分”“90 分以上”这几个彼此互斥事件的并事件，又可看作是“不及格”这一事件的对立事件 解 分别记小明的成绩“在 90 分以上”“在 80 分89分”“在 70 分79 分”在“60 分69 分”为事件 B，C，D，E，这四个事件彼此互斥(1)小明的成绩在 80 分以上的概率是 P(BC)P(B)P(C)0.180.510.69.(2)法一：小明数学考试及格的概率是 P(BCDE)P(B)P(C)P(D)P(E)0.180.510.150.090.93.法二：小明数学考试不及格的概率是 0.07，所以小明数学考试及
14、格的概率是 10.070.93.1(变结论)本例条件不变，求小明在数学考试中取得 80 分以下的成绩的概率解 分别记小明的成绩“在 90 分以上”，“在 8089 分”，“在 7079 分”，“在 6069 分”，“在 60 分以下”为事件 A、B、C、D、E，则这五个事件彼此互斥 小明成绩在 80 分以下的概率是：P(CDE)0.150.090.070.31.2(变条件)一盒中装有各种色球 12 个，其中 5 个红球、4 个黑球、2 个白球、1 个绿球从中随机取出 1 球，求：(1)取出 1 球是红球或黑球的概率；(2)取出的 1 球是红球或黑球或白球的概率解 法一：(利用互斥事件求概率)记
15、事件 A1任取 1 球为红球，A2任取 1 球为黑球，A3任取 1 球为白球，A4任取 1 球为绿球，则 P(A1)512，P(A2)412，P(A3)212，P(A4)112.根据题意知，事件 A1，A2，A3，A4 彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出 1 球为红球或黑球的概率为 P(A1A2)P(A1)P(A2)512 41234.(2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为 P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)512 412 2121112.法二：(利用对立事件求概率)(1)由法一知，取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 球为白球或绿球，即 A1A2 的对立事
16、件为 A3A4，所以取得 1 球为红球或黑球的概率为 P(A1A2)1P(A3A4)1P(A3)P(A4)1 212 112 91234.(2)A1A2A3 的对立事件为 A4.所以 P(A1A2A3)1P(A4)1 1121112.互斥事件、对立事件概率的求解方法(1)互斥事件的概率的加法公式 P(AB)P(A)P(B)(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题课 堂 小 结 提 素 养 1互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能
17、两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥2互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式 P(AB)P(A)P(B)3求复杂事件的概率通常有两种方法(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)互斥事件一定是对立事件()(2)事件 A 与 B 的并事件的概率一定大于事件 A 的概率()(3)若 P(A)P(B
18、)1，则事件 A 与 B 一定是对立事件()答案(1)(2)(3)2给出以下结论：互斥事件一定对立；对立事件一定互斥；互斥事件不一定对立；事件 A 与 B 的和事件的概率一定大于事件 A 的概率；事件 A 与 B 互斥，则有 P(A)1P(B)其中正确命题的个数为()A0 个 B1 个C2 个D3 个C 对立必互斥，互斥不一定对立，对，错；又 ABA 时，P(AB)P(A)，错；只有 A、B 对立时，P(A)1P(B)才成立，错3口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出 1个球，摸出红球的概率是 0.42，摸出白球的概率是 0.28，那么摸出黑球的概率是_0.3 摸出红球、白球、黑球
19、是互斥事件，所以摸出黑球的概率为 10.420.280.3.4从 40 张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从 110 各 10张)中任抽取 1 张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出牌的点数为 5 的倍数”与“抽出牌的点数大于 9”解(1)是互斥事件，不是对立事件理由是：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件(2)既是互斥事件，又是对立事件理由是：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件理由是：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张，“抽出牌的点数为 5 的倍数”与“抽出牌的点数大于 9”这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为 10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
