1、第一阶段 专题二 第一节 知识载体 能力形成 创新意识 配套课时作业 考点一 考点二 考点三 抓点串线成面 三角函数与平面向量主要包括三部分内容三角函数、平面向量、解三角形，复习这三部分内容应牢牢把握三个点：“角”、“关系”与“运算”，这三个点串成了该部分知识复习的主线“角”，是三角函数复习线索的中心，该部分知识的复习要围绕“角”这个中心，抓住四个基本点：三角函数的定义、同角三角函数的基本关系与诱导公式、三角函数的图像与性质、三角恒等变换(1)任意角的三角函数的定义揭示了三角函数值与坐标之间的关系，要明确三角函数各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦三角函数定义是推导同角三角函数关系的基
2、础；(2)同角三角函数的基本关系和诱导公式是求解三角函数值、对三角函数式进行化简求值的基础，注意角的范围对三角函数值符号的影响，诱导公式要准确记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，化简时要遵循“负变正，钝变锐”的原则，把角化归到锐角范围内进行研究；(3)三角函数的图像与性质是三角函数的重点，准确把握三角函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最值等是解决图像问题的关键，如处理三角函数图像平移问题可借助对应两个函数图像的关键点确定平移的单位和方向；根据函数图像写解析式时，要遵循“定最值求A，定周期求，定最值点求”的基本思路；(4)角的变化是三角恒等变换的关键，熟练记忆和角、差角、倍角的三角函
3、数公式，这是三角函数化简求值的基础，三角函数综合问题的求解都需要先利用这些公式把三角函数解析式化成“一角一函数”的形式，进而研究三角函数的图像与性质，这些公式是联系三角函数各个部分的纽带三角形中的“边角关系”，这是解三角形问题的核心，主要涉及正弦定理、余弦定理及解三角形的实际应用问题(1)正弦定理、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，应注意定理的灵活变形，如 a2Rsin A，sin A a2R(其中 2R 为三角形外接圆的直径)，a2b2c22abcos C 等，灵活根据条件求解三角形中的边与角；(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“内角和等于”和诱导公式可得到 s
4、in(AB)sin C，sinAB2cos C2等；利用“大边对大角”可以排除解三角形中的增解问题等；(3)测量问题是解三角形在实际应用中的主要内容，解决问题的关键是把要测量的问题归入到相应的三角形中，然后利用正、余弦定理求解相应的边角平面向量的“基本运算”，这是平面向量中的重点，主要包括线性运算、数量积运算以及坐标运算(1)正确理解平面向量的基本概念和基本定理是实施平面向量基本运算的基础，如利用相反向量可把向量的减法转化为向量的加法；(2)平面向量的线性运算主要包括加减运算和数乘运算，正确把握三角形法则和多边形法则，准确理解数与向量乘法的定义，这是解决向量共线问题的基础，如“ab”的必要不充
5、分条件是“存在实数t，使得bta”，因为若a0，b0，虽然有ab，但实数t不存在；(3)数量积是平面向量中的一种重要运算，坐标运算是平面向量的核心知识，涉及夹角、距离等的基本运算，是历年高考命题的重点，要准确记忆相关公式；(4)平面向量多作为解决问题的工具或者通过运算作为条件出现，常与三角函数、解三角形以及平面解析几何等问题相结合，在复习中要重视向量在解决此类问题时的应用1巧记六组诱导公式对于“k2，kZ 的三角函数值”与“角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限函数 ysin x ycos x ytan x 图像 2辨明常用三种函数的易误性质函数ysin xycos x
6、ytan x单调性在22k，22k(kZ)上单调递增；在22k，32 2k(kZ)上单调递减在2k，2k(kZ)上单调递增；在2k，2k(kZ)上单调递减2k，在2k(kZ)上单调递增函数ysin xycos xytan x对称性对称中心：(k，0)(kZ)；对称轴：x2k(kZ)对 称 中 心：2k，0(kZ)；对称轴：xk(kZ)对称中心：k2，0(k Z)3识破三角函数的两种常见变换(1)ysin x向左0或向右0，0)(2)ysin x横坐标变为原来的 1 倍纵坐标不变ysin x向左0或向右0，0)考情分析 高考对本部分内容的考查，一般主要是小题，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角
7、三角函数的关系进行求值、变形，或是利用三角函数的图像及其性质进行求值、参数、值域、单调区间及图像判断等，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、图像、诱导公式及同角三角函数关系的应用等例 1 已知点 Psin34，cos34 落在角 的终边上，且 0,2)，则 的值为()A.4 B.34C.54D.74思路点拨 由三角函数定义求出 tan 值，再由 的范围，即可求得 的值解析 tan cos34sin34cos4sin41，又 sin34 0，cos34 0，且 a1)，则cos32 的值为()A.1010B 1010C.3 1010D3 1010B考情分析 函数yAsin(x)图像的平移
8、和伸缩变换以及根据图像确定A、问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中低档，主要考查识图、用图能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力例 2(2012陕西高考)函数 f(x)Asinx6 1(A0，0)的最大值为 3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)设 0，2，f2 2，求 的值思路点拨(1)利用最值求出 A 的值再利用函数图像相邻两条对称轴之间的距离求出周期，从而得出 2，进而得解；(2)结合已知条件得出关于角 的某一个三角函数值，再根据 的范围易求得 的值解(1)函数 f(x)的最大值为 3，A13，即 A2.函数图像的
9、相邻两条对称轴之间的距离为2，最小正周期 T.2.函数 f(x)的解析式为 y2sin2x6 1.(2)f2 2sin6 12，sin6 12.02，660)的图像向右平移4个单位长度，所得图像经过点34，0，则 的最小值是()A.13B1C.53D2解析：选 将函数 f(x)sin x 的图像向右平移4个单位长度，得到的图像对应的函数解析式为 f(x)sin(x4)sin(x4)又因为函数图像过点(34，0)，所以 sin(34 4)sin2 0，所以2 k，即 2k(kZ)，因为 0，所以 的最小值为 2.D5(2012衡水模拟)若函数 yAsin(x)(A0，0，|2)在一个周期内的图像
10、如图所示，M，N 分别是这段图像的最高点与最低点，且OM ON 0，则 A()A.6B.712C.76D.73 解析：选 由题中图像知T43 12，所以 T，所以 2.则 M12，A，N712，A，由OM ON 0，得72122A2，所以 A 712，所以 A 76.C考情分析 三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法例 3(2012北京高考)已知函数 f(x)sin xcos xsin 2xsin x.(1)求 f(x
11、)的定义域及最小正周期；(2)求 f(x)的单调递增区间思路点拨 先化简函数解析式，再求函数的性质解(1)由 sin x0 得 xk(kZ)，故 f(x)的定义域为xR|xk，kZ因为 f(x)sin xcos xsin 2xsin x2cos x(sin xcos x)sin 2xcos 2x1 2sin2x4 1，所以 f(x)的最小正周期 T22.(2)函数 ysin x 的单调递增区间为2k2，2k2(kZ)由 2k22x42k2，xk(kZ)，得 k8xk38，xk(kZ)所以 f(x)的单调递增区间为k8，k 和k，k38(kZ)类题通法函数yAsin(x)的性质及应用的求解思路第
12、一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成yAsin(x)B的形式；第二步：把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求yAsin(x)B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题冲关集训6(2012石家庄模拟)下列函数中，周期为 且在0，2 上是减函数的是()Aysinx4 Bycosx4Cysin 2xDycos 2xD解析：选 因为 ycos 2x 的周期 T22，而 2x0，所以 ycos 2x 在0，2 上为减函数7(2012山东高考)函数 y2sinx6 3(0 x9)的最大值与最小值之和为()A2 3B0C1 D1 3解析：选 当 0 x9 时，3x6 376，32 sinx
13、6 3 1，所以函数的最大值为 2，最小值为 3，其和为 2 3.A8(2012广州调研)已知函数 f(x)sin2x32(xR)，给出下面四个命题：函数 f(x)的最小正周期为；函数 f(x)是偶函数；函数f(x)的图像关于直线 x4对称；函数 f(x)在区间0，2 上是增函数其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4解析：选 函数 f(x)sin2x32 cos 2x，则其最小正周期为，故正确；易知函数 f(x)是偶函数，正确；由 f(x)cos 2x 的图像可知，函数 f(x)的图像关于直线 x4不对称，错误；由 f(x)的图像易知函数 f(x)在0，2 上是增函数，故正确C9设函数
14、f(x)sin xsinx2，xR.(1)若 12，求 f(x)的最大值及相应的 x 的集合；(2)若 x8是 f(x)的一个零点，且 010，求 f(x)的单调递增区间解：(1)f(x)sin xsinx2 sin xcos x，当 12时，f(x)sinx2cosx2 2sinx24，又1sinx24 1，所以 f(x)的最大值为 2，此时，x2422k，kZ，即 x32 4k，kZ，相应的 x 的集合为x|x32 4k，kZ(2)法一：因为 f(x)2sinx4，所以，x8是 f(x)的一个零点f8 2sin8 4 0，即8 4k，kZ，整理，得 8k2，kZ，又 010，所以 08k2
15、10，14k1，而 kZ，所以 k0，2，f(x)2sin2x4，由22k2x422k，kZ，得8kx38 k，kZ，所以 f(x)的单调递增区间为8k，38 k，kZ.法二：x8是 f(x)的一个零点f8 sin8 cos8 0，即 tan8 1.所以8 k4，kZ，整理得 8k2，kZ又 010，所以 08k210，14k0，0，|2)在一个周期内的图像如图所示(1)求函数的解析式；(2)设 0 x，且方程 f(x)m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和思路点拨 利用转化思想把方程问题化为函数问题，再利用数形结合法求解解(1)由图像知 A2，34T1112 634，则
16、 T，所以2，又图像过点6，2，所以 262.即 6.所以所求的函数的解析式为 f(x)2sin2x6.(2)在同一坐标系中画出 y2sin2x6 和 ym(mR)的图像，如图所示，由图可知，当2m1 或 1m2 时，直线 ym 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故 m 的取值范围为2m1 或 1m2.当2m1 时，两根之和为43；当 1m2 时，两根之和为3.名师支招本题将方程的根的问题转化成两个函数图像交点的个数问题，把代数问题转化成几何问题求解，从函数图像上可以清楚地看出当2m1或1m2时，直线ym与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图像的对称性便可求出两根之和高考预测函数 f(x)sin xcos x|sin xcos x|对任意的 xR 都有f(x1)f(x)f(x2)成立，则|x2x1|的最小值为_解析：依题意得，当 sin xcos x0，即 sin xcos x 时，f(x)2sin x；当 sin xcos x0，即 sin xcos x 时，f(x)2cos x.令 f(x1)、f(x2)分别是函数 f(x)的最小值与最大值，结合函数 yf(x)的图像可知，|x2x1|的最小值是34.答案：34配套课时作业
