1、专题3 函数与导数第12练 导数几何意义的必会题型本部分题目考查导数的几何意义：函数f(x)在xx0处的导数即为函数图象在该点处的切线的斜率，考查形式主要为填空题或者在解答题的某一步中出现(难度为低中档)，内容就是求导，注意审题是过点(x0，y0)的切线还是在点(x0，y0)处的切线.题型分析 高考展望 体验高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 123451.(2016四川改编)设直线 l1，l2 分别是函数 f(x)ln x，0 x1图象上点 P1，P2 处的切线，l1 与 l2 垂直相交于点 P，且 l1，l2 分别与 y 轴相交于点 A，B，则PAB 的面积的取值范围是_
2、.解析 答案(0,1)12345解析答案 2.(2016课标全国丙)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_.解析 设x0，则x0，求a的取值范围.高考必会题型 题型一 直接求切线或切线斜率问题 例1 (2015课标全国)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.解析答案 解析 f(x)3ax21，f(1)13a，f(1)a2.在点(1，f(1)处的切线方程为 y(a2)(13a)(x1).将(2,7)代入切线方程，得7(a2)(13a)，解得a1.1解析答案(2)曲线yxex1在点(1,1)处切线
3、的斜率等于_.解析 yxex1xexe，y1e(exxex)1eex(x1)，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y|x12，即2xy10.2点评 解析答案 变式训练1(2016课标全国丙)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点(1，3)处的切线方程是_.f(x)1x3，f(1)2，切线方程为 y2x1，解析 设x0，则x0，f(x)ln x3x，又f(x)为偶函数，f(x)ln x3x，即2xy10.2xy10 题型二 导数几何意义的综合应用 解 由题意知，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为2，所以f(1)2，例 2(2015山东)设函数 f(
4、x)(xa)ln x，g(x)x2ex.已知曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线 2xy0 平行.(1)求 a 的值；解析答案 又 f(x)ln xax1，即f(1)a12，所以a1.(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；解析答案 点评(3)设函数m(x)minf(x)，g(x)(minp，q表示p，q中的较小值)，求m(x)的最大值.解析答案 解析答案 变式训练2(2015广东)设a1，函数f(x)(1x2)exa.(1)求f(x)的单调区间；解 f(x)2xex(1x2)ex(x22x1)ex(x
5、1)2ex，xR，f(x)0恒成立.f(x)的单调增区间为(，)，无单调减区间.解析答案(2)证明：f(x)在(，)上仅有一个零点；证明 f(0)1a，f(a)(1a2)eaa，且a1，f(0)2aeaa2aaa0，f(0)f(a)0，f(x)在(0，a)上有一零点.又f(x)在(，)上单调递增，f(x)在(0，a)上仅有一个零点，f(x)在(，)上仅有一个零点.解析答案(3)若曲线 yf(x)在点 P 处的切线与 x 轴平行，且在点 M(m，n)处的切线与直线 OP 平行(O 是坐标原点)，证明：m3a2e1.返回 高考题型精练 12345678910 11 12解析答案 1.已知函数f(x
6、)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为_.解析 点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0).又f(x)1ln x，解得x01，y00.切点为(1,0)，f(1)1ln 11.直线l的方程为yx1，即xy10.y0 x0ln x0，y011ln x0 x0，xy10 12345678910 11 12解析答案 直线l的斜率为kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0 x01，2.已知 f(x)ln x，g(x)12x2mx72(m0)，直线 l
7、与函数 f(x)，g(x)的图象都相切，且与 f(x)图象的切点为(1，f(1)，则 m 等于_.解析 f(x)1x，y012x20mx072(m0)上不存在斜率为 0 的切线，则f1b1 的取值范围是_.所以f1b1abcb1acb.函数f(x)图象上不存在斜率为0的切线，也就是 f(x)0 无解，故 b24acb24，所以acb 2 acb2b24b1,即f1b1acb 的取值范围是(1，).(1，)12345678910 11 12解析答案 解析 yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1e01，7.(2015陕西)设曲线 yex 在点(0,1)处的切线与曲线 y1x(x0)上点
8、 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为_.设 P(m，n)，y1x(x0)的导数为 y1x2(x0)，曲线 y1x(x0)在点 P 处的切线斜率 k2 1m2(m0)，因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点P的坐标为(1,1).(1,1)12345678910 11 12解析答案 8.已知 f(x)x3f(23)x2x，则 f(x)的图象在点(23，f(23)处的切线斜率是_.解析 f(x)3x22f(23)x1，令 x23，可得 f(23)3(23)22f(23)231，解得 f(23)1，所以 f(x)的图象在点(23，f(23)处的切线斜率是1.112345678910 11
9、 129.已知曲线C：f(x)x3axa，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为_.解析 答案 27812345678910 11 1210.已知函数yf(x)及其导函数yf(x)的图象如图所示，则曲线yf(x)在点P处的切线方程是_.解析答案 解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线yf(x)在点P处的切线的斜率kf(2)1，又过点P(2,0)，所以切线方程为xy20.xy20 12345678910 11 12解析答案(1)当a为何值时，x轴为曲线yf(x)的切线；11.(2015课标全国)已知函数 f(x)x3ax14，g(x)ln x.解 设曲线y
10、f(x)与x轴相切于点(x0，0)，则 f(x0)0，f(x0)0，即x30ax0140，3x20a0，解得x012，a34.所以当 a34时，x 轴为曲线 yf(x)的切线.12345678910 11 12解析答案(2)用 minm，n 表 示 m，n 中 的 最 小 值，设 函 数 h(x)minf(x)，g(x)(x0)，讨论h(x)零点的个数.12345678910 11 12解析答案 12.(2016北京)设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4.(1)求a，b的值；依题设，f22e2，f2e1，即2ea22b2e2，ea2be1.解 f(x)的定义域为R.f(x)eaxxeaxb(1x)eaxb.解得a2，be.解析答案 返回 12345678910 11 12(2)求f(x)的单调区间.
