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2020-2021学年新教材高考数学 第一章 空间向量与立体几何 4.docx

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资源描述

1、空间向量应用(一)【题组一 平面法向量的求解】1已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC法向量的是()A(1,1,1) B(1,1,1)C.D.【答案】C【解析】设n(x,y,z)为平面ABC的法向量,(1,1,0),(1,0,1),则化简得xyz.故选C.2(2018浙江高三其他)平面的法向量,平面的法向量,则下列命题正确的是( )A、平行B、垂直C、重合D、不垂直【答案】B【解析】平面的法向量,平面的法向量,因为,所以两个平面垂直故选:3(2019山东历下.济南一中高二期中)在平面ABCD中,若,且为平面ABCD的法向量,则等于( )A2B0C1D无

2、意义【答案】C【解析】由题得,又为平面ABCD的法向量,则有,即,则,那么.故选:C【题组二 空间向量证平行】1(2019安徽埇桥,北大附宿州实验学校高二期末(理)已知平面的法向量是,平面的法向量是,若/ ,则的值是( )AB-6C6D【答案】C【解析】因为/,故可得法向量与向量共线,故可得,解得.故选:C.2(2019乐清市知临中学高二期末)已知平面的一个法向量是,则下列向量可作为平面的一个法向量的是( )ABCD【答案】D【解析】平面的一个法向量是,设平面的法向量为,则,对比四个选项可知,只有D符合要求,故选:D.3.(2020.广东.华侨中学)如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互

3、相垂直,AB,AF1,M在EF上,且AM平面BDE,则M点的坐标为()A(1,1,1) B. C. D.【答案】C【解析】设AC与BD相交于O点,连接OE,AM平面BDE,且AM平面ACEF,平面ACEF平面BDEOE,AMEO,又O是正方形ABCD对角线的交点,M为线段EF的中点在空间直角坐标系中,E(0,0,1),F(,1)由中点坐标公式,知点M的坐标为.4.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1MAN,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交 B平行C垂直 DMN在平面BB1C1C内【答案】B【解析】以点C1为坐标原点,分别以C

4、1B1,C1D1,C1C所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,由于A1MAN,则M,N,.又C1D1平面BB1C1C,所以(0,a,0)为平面BB1C1C的一个法向量因为0,所以,又MN平面BB1C1C,所以MN平面BB1C1C.【题组三 空间向量证明垂直】1(2019湖北孝感.高二期中(理)已知向量,平面的一个法向量,若,则( )A,B,CD【答案】A【解析】因为,所以,由,得,.故选A2(2020宜昌市人文艺术高中(宜昌市第二中学)高二月考)已知直线的一个方向向量,平面的一个法向量,若,则_【答案】【解析】,且,解得,.因此,.故答案为:.3(2020陕西富平.期末(理

5、)若直线l的方向向量为,平面的法向量为,则直线l与平面的位置关系是( )ABCDl与斜交【答案】B【解析】由题得,则,又是平面的法向量,是直线l的方向向量,可得.故选:B4. 如图,已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACD为等边三角形,ADDE2AB.求证:平面BCE平面CDE.【答案】【解析】设ADDE2AB2a,以A为原点,分别以AC,AB所在直线为x轴,z轴,以过点A垂直于AC的直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a,a,0),E(a,a,2a)所以(a,a,a),(2a,0,a),(a,a,0),(0,0,2

6、a)设平面BCE的法向量为n1(x1,y1,z1),由n10,n10可得即令z12,可得n1(1,2)设平面CDE的法向量为n2(x2,y2,z2),由n20,n20可得即令y21,可得n2(,1,0)因为n1n211()200.所以n1n2,所以平面BCE平面CDE.5.如图所示,已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形,ABCBCD90,ABBCPBPC2CD,侧面PBC底面ABCD.证明:(1)PABD;(2)平面PAD平面PAB.【答案】见解析【解析】(1)取BC的中点O,连接PO,平面PBC底面ABCD,PBC为等边三角形,平面PBC底面ABCDBC,PO平面PBC,PO底面ABCD.以

7、BC的中点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示不妨设CD1,则ABBC2,PO,A(1,2,0),B(1,0,0),D(1,1,0),P(0,0,),(2,1,0),(1,2,)(2)1(1)(2)0()0,PABD.(2)取PA的中点M,连接DM,则M.,(1,0,),100()0,即DMPB.10(2)()0,即DMPA.又PAPBP,PA,PB平面PAB,DM平面PAB.DM平面PAD,平面PAD平面PAB.6.(2019林州模拟)如图,在四棱锥PABCD中,PD底面ABCD,底面ABCD为正方形,PDDC,E,F分别是AB,PB的中点(1)求证:EFCD;(2)在平面PAD内求一点G,使GF平面PCB,并证明你的结论【答案】见解析【解析】(1)证明如图,以D为原点,分别以DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设ADa,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E,P(0,0,a),F.,(0,a,0)0,即EFCD.(2)解设G(x,0,z),则,若使GF平面PCB,则需0,且0,由(a,0,0)a0,得x;由(0,a,a)a0,得z0.G点坐标为,即G为AD的中点

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