1、空间向量应用（一）【题组一 平面法向量的求解】1已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A(1，1，1) B(1，1,1)C.D.【答案】C【解析】设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，(1，1，0)，(1，0，1)，则化简得xyz.故选C.2（2018浙江高三其他）平面的法向量，平面的法向量，则下列命题正确的是（ ）A、平行B、垂直C、重合D、不垂直【答案】B【解析】平面的法向量，平面的法向量，因为，所以两个平面垂直故选：3（2019山东历下.济南一中高二期中）在平面ABCD中，若，且为平面ABCD的法向量，则等于（ ）A2B0C1D无
2、意义【答案】C【解析】由题得，又为平面ABCD的法向量，则有，即，则，那么.故选：C【题组二 空间向量证平行】1（2019安徽埇桥，北大附宿州实验学校高二期末（理）已知平面的法向量是，平面的法向量是，若/ ，则的值是（ ）AB-6C6D【答案】C【解析】因为/，故可得法向量与向量共线，故可得，解得.故选：C.2（2019乐清市知临中学高二期末）已知平面的一个法向量是，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（ ）ABCD【答案】D【解析】平面的一个法向量是，设平面的法向量为，则，对比四个选项可知，只有D符合要求，故选：D.3.（2020.广东.华侨中学）如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互
3、相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE，则M点的坐标为()A(1,1,1) B. C. D.【答案】C【解析】设AC与BD相交于O点，连接OE，AM平面BDE，且AM平面ACEF，平面ACEF平面BDEOE，AMEO，又O是正方形ABCD对角线的交点，M为线段EF的中点在空间直角坐标系中，E(0，0，1)，F(，1)由中点坐标公式，知点M的坐标为.4.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交 B平行C垂直 DMN在平面BB1C1C内【答案】B【解析】以点C1为坐标原点，分别以C
4、1B1，C1D1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1MAN，则M，N，.又C1D1平面BB1C1C，所以(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量因为0，所以，又MN平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C.【题组三 空间向量证明垂直】1（2019湖北孝感.高二期中（理）已知向量，平面的一个法向量，若，则（ ）A，B，CD【答案】A【解析】因为，所以，由，得，.故选A2（2020宜昌市人文艺术高中（宜昌市第二中学）高二月考）已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则_【答案】【解析】，且，解得，.因此，.故答案为：.3（2020陕西富平.期末（理
5、）若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线l与平面的位置关系是（ ）ABCDl与斜交【答案】B【解析】由题得，则，又是平面的法向量，是直线l的方向向量，可得.故选：B4. 如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB.求证：平面BCE平面CDE.【答案】【解析】设ADDE2AB2a，以A为原点，分别以AC，AB所在直线为x轴，z轴，以过点A垂直于AC的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，E(a，a，2a)所以(a，a，a)，(2a，0，a)，(a，a，0)，(0，0，2
6、a)设平面BCE的法向量为n1(x1，y1，z1)，由n10，n10可得即令z12，可得n1(1，2)设平面CDE的法向量为n2(x2，y2，z2)，由n20，n20可得即令y21，可得n2(，1，0)因为n1n211()200.所以n1n2，所以平面BCE平面CDE.5.如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.证明：(1)PABD；(2)平面PAD平面PAB.【答案】见解析【解析】(1)取BC的中点O，连接PO，平面PBC底面ABCD，PBC为等边三角形，平面PBC底面ABCDBC，PO平面PBC，PO底面ABCD.以
7、BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示不妨设CD1，则ABBC2，PO，A(1，2,0)，B(1,0,0)，D(1，1，0)，P(0，0，)，(2，1，0)，(1，2，)(2)1(1)(2)0()0，PABD.(2)取PA的中点M，连接DM，则M.，(1，0，)，100()0，即DMPB.10(2)()0，即DMPA.又PAPBP，PA，PB平面PAB，DM平面PAB.DM平面PAD，平面PAD平面PAB.6.(2019林州模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论【答案】见解析【解析】(1)证明如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设ADa，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F.，(0，a，0)0，即EFCD.(2)解设G(x，0，z)，则，若使GF平面PCB，则需0，且0，由(a,0,0)a0，得x；由(0，a，a)a0，得z0.G点坐标为，即G为AD的中点