1、第二章 统计 2.3 变量间的相关关系 2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关 学 习 目 标核 心 素 养 1了解变量间的相关关系，会画散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系(重点)2了解线性回归思想，会求回归直线方程(难点)1通过对数据的分析、统计，培养数据分析素养2借助变量间相关关系的研究，提升数学运算素养.自 主 预 习 探 新 知 1变量间的相关关系(1)相关关系的定义变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有 的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变量之间的关系分为 和 相关关系随机性函数关系(2)散点图将样
2、本中 n 个数据点(xi，yi)(i1,2，n)描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图(3)正相关与负相关正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为 负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为 负相关正相关2回归直线方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在 附近，就称这两个变量之间具有 关系，这条直线叫做回归直线(2)线性回归方程：对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程回归直线一条直线线性相关(3)最小二乘法：求线性回归方程ybxa时，使得样本数据的点到回归直线的_最小的方法叫做最小二乘法bi1nxixyiyi
3、1nxix2i1nxiyin x yi1nx2in x 2，a yb x，距离的平方和其中，b是线性回归方程的_，a是线性回归方程在 y 轴上的截_截距斜率1下列两个变量具有相关关系的是()A角度和它的余弦值B圆的半径和该圆的面积C正 n 边形的边数和它的内角和D居民的收入与存款D A、B、C 中两变量是确定的函数关系2已知变量 x，y 之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为()A.y1.5x2B.y1.5x2C.y1.5x2D.y1.5x2B 由散点图知，变量 x，y 之间负相关，回归直线在 y 轴上的截距为正数，故只有 B 选项符合35 位学生的数学成绩和物理成绩如下表
4、：学科ABCDE 数学8075706560物理7066686462则数学成绩与物理成绩之间()A是函数关系B是相关关系，但相关性很弱C具有较好的相关关系，且是正相关D具有较好的相关关系，且是负相关C 数学成绩 x 和物理成绩 y 的散点图如图所示 从图上可以看出数学成绩和物理成绩具有较好的相关关系，且成正相关4设有一个回归方程为y21.5x，则变量 x 每增加 1 个单位时，y 平均减少_个单位1.5 因为y21.5x，所以变量 x 每增加 1 个单位时，y1y221.5(x1)(21.5x)1.5，所以 y 平均减少 1.5 个单位合 作 探 究 释 疑 难 相关关系及判断【例 1】某个男孩
5、的年龄与身高的统计数据如下表所示年龄 x(岁)123456 身高 y(cm)788798108115120(1)画出散点图；(2)判断 y 与 x 是否具有线性相关关系解(1)散点图如图所示(2)由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为 y 与 x具有线性相关关系相关关系的判断方法 1两个变量 x 和 y 具有相关关系的判断方法 散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；经验法：借助积累的经验进行分析判断.2判断两个变量 x 和 y 之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一
6、条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响.跟进训练1下列关系中，属于相关关系的是_(填序号)正方形的边长与面积之间的关系；农作物的产量与施肥量之间的关系；出租车费与行驶的里程；降雪量与交通事故的发生率之间的关系 在中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；为确定的函数关系；在中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系求回归方程探究问题1任意两个统计数据是否均可以作出散点图？提示 任意两个统计数据均可以作出散点图2任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归方程吗？提示 用最小二乘法求回归方程的前提是
7、先判断所给数据具有线性相关关系，否则求回归方程是无意义的3回归系数b的含义是什么？提示(1)b代表 x 每增加一个单位，y 的平均增加单位数，而不是增加单位数(2)当b0 时，两个变量呈正相关关系，含义为：x 每增加一个单位，y 平均增加b个单位数；当b0 时，两个变量呈负相关关系，含义为：x 每增加一个单位，y 平均减少b个单位数【例 2】一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 10 次试验，收集数据如下：零件数 x(个)102030405060708090100 加工时间 y(分)626875818995102108115122(1)y 与 x 是否具有线性相关
8、关系？(2)如果 y 与 x 具有线性相关关系，求 y 关于 x 的回归直线方程思路点拨：画散点图确定相关关系求回归直线系数写回归直线方程 解(1)画散点图如下：由上图可知 y 与 x 具有线性相关关系(2)列表、计算：i12345678910 xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi620 1 360 2 250 3 240 4 450 5 700 7 140 8 64010 35012 200 x55，y91.7，i110 x2i38 500，i110y2i87 777，i110 xiyi55 950 求回归直线方程的步骤
9、1收集样本数据，设为xi，yii1，2，n数据一般由题目给出.2作出散点图，确定 x，y 具有线性相关关系.跟进训练2某种产品的广告费支出 x(单位：百万元)与销售额 y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568 y3040605070(1)画出散点图；(2)求回归方程解(1)散点图如图所示(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算i12345 xi24568 yi3040605070 xiyi60160300300560 x2i416253664 x5，y50，i15x2i145，i15xiyi1 380 于是可得，bi15xiyi5x yi15x2i5x 21 38055501455
10、526.5，ayb x506.5517.5.于是所求的回归方程是y6.5x17.5.回归方程的应用 【例 3】为了解某地区某种农产品的年产量 x(单位：吨)对价格 y(单位：千元/吨)的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：x12345 y86542已知 x 和 y 具有线性相关关系(1)求x，y；(2)求 y 关于 x 的线性回归方程ybxa；(3)若年产量为 4.5 吨，试预测该农产品的价格解(1)计算可得 x1234553，y8654255.因为线性回归直线过(x，y)，则a yb x5(1.43)9.2，故 y 关于 x 的线性回归方程是y1.4x9.2.(3)当 x4.5 时
11、，y1.44.59.22.9(千元/吨)利用线性回归方程解题的常见思路及注意点 1利用回归直线过样本点的中心，可以求参数问题，参数可涉及回归方程或样本点数据.2利用回归方程中系数b的意义，分析实际问题.3利用回归直线进行预测，此时需关注两点；所得的值只是一个估计值，不是精确值；变量 x 与 y 成线性相关关系时，线性回归方程才有意义，否则即使求出线性回归方程也是毫无意义的，用其估计和预测的量也是不可信的.跟进训练3在一段时间内，分 5 次测得某种商品的价格 x(万元)和需求量y(吨)之间的一组数据为价格 x1.41.61.822.2 需求量 y1210753(1)根据上表数据，求出回归直线方程
12、ybxa；(2)试根据(1)中求出的回归方程预估当价格为 1.9 万元时，需求量大约是多少吨？解(1)因为x1591.8，y15377.4，课 堂 小 结 提 素 养 1判断变量之间有无相关关系，简便可行的方法就是绘制散点图根据散点图，可看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还是负相关2求回归直线的方程时应注意的问题(1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的(2)用公式计算a，b的值时，要先算出b，然后才
13、能算出a.3利用回归方程，我们可以进行估计和预测若回归方程为ybxa，则 xx0 处的估计值为y0bx0a.1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)相关关系是两个变量之间的一种确定的关系()(2)回归直线方程一定过样本中心点()(3)选取一组数据的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程一定相同()答案(1)(2)(3)2对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程yabx中，回归系数b()A不能小于 0 B不能大于 0C不能等于 0D只能小于 0C 当b0 时，不具有相关关系，b可以大于 0，也可以小于 0.3若施化肥量 x(千克/亩)与水稻产量 y(千克/亩)的回归方
14、程为y5x250，当施化肥量为 80 千克/亩时，预计水稻产量为亩产_千克左右650 当 x80 时，y400250650.42019 年元旦前夕，某市统计局统计了该市 2018 年 10 户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：年收入 x(万元)24466677810 年饮食支出 y(万元)0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3如果已知 y 与 x 是线性相关的，求回归方程(参考数据：i110 xiyi117.7，i110 x2i406)解 依题意可计算得：x6，y1.83，x 236，x y10.98，又i110 xiyi117.7，i110 x2i406，bi110 xiyi10 x yi110 x2i10 x 20.17，ayb x0.81，y0.17x0.81.所求的回归方程为y0.17x0.81.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
