1、第2章 平面向量2.1 向量的概念及表示一、 学习内容、要求及建议知识、方法要求建议向量的实际背景：物理中位移、速度、力和几何中有向线段等了解结合具体背景学习向量概念、与物理中矢量进行比较，认识向量是既有大小又有方向的量.平面向量的基本概念和几何表示：向量、零向量、单位向量、相等向量及共线向量等理解向量相等的含义理解二、 预习指导1. 预习目标(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量及共线向量等概念；(2)掌握向量的表示方法；(3)能在图形中辨认共线向量与相等向量，能用有向线段表示已知向量2. 预习提纲(1)复习物理中位移、速度、力和几何中有向线段等概念，理解平面向量的含义(2)阅读课本P5
2、7-58,思考下列内容：向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量向量的表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向符号表示以A为起点，B为终点的向量向量也可以用小写字母，等表示向量的模：向量的大小称为向量的长度或向量的模，记作| 向量的其他概念及表示方法3. 典型例题(1) 向量的有关概念例1 给出下列命题：若=，则；若，则；若=，则；若，则=；若=0，则=0；若=，则=其中正确命题的序号是 分析：解答本题可借助于相等向量、共线向量的概念等基本知识逐一进行判断解：由相等向量定义可知，若=，则，的模相等，方向相同，故不正确，正确知模的大小，而不能确
3、定方向，故不正确共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线，共线向量不一定相等，故正确，不正确零向量与数字0是两个不同的概念，零向量不等于数字0，故不正确所以答案为点评：此类题目关键是理解、区分向量的有关概念，从向量的长度与方向两方面认识向量，可举特例选择 (2) 共线向量与相等向量方向相同或相反的的非零向量为平行向量，零向量与任意向量平行在图形中要能识别共线向量与相等向量例2 如图：EF是ABC的中位线，AD是ABC的BC边上的中线，以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段表示的向量中(1)与向量共线的向量有哪几个？请分别写出这些向量；(2)与向量的模一定相等的向量有哪几个？请写出这
4、些向量；(3)写出与向量相等的向量分析：根据共线向量与相等向量的定义即可解决解：(1)与共线的向量有7个，它们分别是；(2)与向量的模一定相等的向量有5个，它们分别是；(3)如图，=.(3) 向量的应用例3 若且，判断四边形ABCD的形状.分析：先由得出四边形为平行四边形，再由得出结论解：由知且=，所以四边形ABCD为平行四边形，又因为，所以四边形ABCD为菱形点评：隐含与=两方面，一般，判断四边形的形状需要判断对边与邻边的关系4. 自我检测(1) 判断下列说法是否正确： 若两个向量相等，则它们的起点和终点重合； 若、都是单位向量，则； 物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量； 不相等的向量
5、一定不平行； 若平行，平行，则平行； 零向量没有方向； 零向量与任何向量都平行； 零向量的方向是任意的； 向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；有向线段就是向量，向量就是有向线段 (2) 思考讨论： 所有的单位向量都相等吗？ 与一样吗？ 向量、能不能用不等号将它们连接起来？即能表示为或吗？三、 课后巩固练习A组1给出下列命题：向量的长度与向量的长度相等；若向量与向量平行，则与的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有共同终点的向量，一定是共线向量.其中，正确命题的个数是 2以下各物理量：速度、位移、力、功，不能称之为向量的是 3向量的长度记作_；的
6、模是_，是单位向量，则的值是_4与非零向量()平行的向量中，不相等的单位向量有_个5已知、为不共线的非零向量，且存在向量，使， 则=_6在直角坐标系中，已知=2，则点P构成的图形是_7如图在正六边形ABCDEF中，为中心，(1)与相等的向量有 ；(2)与共线的向量有 ；(3)与的模相等且反向的向量有 8直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，3)，(5，2)，试画出两个与向量不相等且又共线的向量B组9.在直角坐标系中，画出向量：=5，的方向与x轴正向的夹角是30，与y轴正方向的夹角是12010. 如图，D、E、F分别是ABC各边上的中点，四边形BCMF是平行四边形分别写出：(1)与共线的向量；
7、(2)与共线的向量；(3)与相等的向量；(4)与相等的向量11. 一架飞机从A点向西北飞行200km到达B点，再从B点向东飞行km到达C点，再从C点向东偏南30飞行了km到达D点问D点在A点的什么方向，距A点有多远？ 12右图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法，如图，马可从A跳到A1，也可跳到A2，用向量表示马走了“一步”，试在图中画出马在B,C处走“一步”的所有情况13如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点的位置在(0，0)，圆在轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，的坐标为 知识点题号注意点向量的实际背景结合向量相等的概念，在一
8、些几何图形中,能找到相等的向量，理清平行向量、共线向量、相反向量、相等向量的概念平面向量的基本概念和几何表示向量相等的含义四、 学习心得五、 拓展视野向量的由来向量又称为矢量，最初被应用于物理学很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿 课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向但是在高等数学中还有更广泛的向量例如，把所有实系数多项式的全体看成一
9、个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型 从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系
