1、绝密启用前福清市2020届高三年“线上教学”质量检测数学（理科）试卷（完卷时间120分钟；满分150分）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至2页，第卷3至5页满分150分.第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则ABC D2.已知复数满足，且，则A3BCD3.已知两个力，作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力，则ABCD4.已知等比数列的前项和为，若，且，则A. B. C. D. 5.如图1为某省2019年14月快递业务量统计图，图2是该省2019年14月
2、快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是A2019年14月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B2019年14月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C从两图来看2019年14月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D从14月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长6.已知，则曲线在点处的切线方程为ABCD7.若展开式中的系数为，则整数的值为ABCD8.已知函数，若，则A BC D9.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. B. C. D. 10.将曲线向左平移个单位长度，得到曲线的对称中心为A.
3、B. C. D. 11.已知双曲线的右焦点的坐标为，过作与的两条渐近线平行的直线，若与的渐近线分别交于两点，且四边形（为坐标原点）的面积为，则的离心率为A3B2CD12.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若棱长为的二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为AB CD第卷注意事项：用毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，
4、答案无效二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上13.已知，则_.14.某电视台的夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立某选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为_.15.已知等差数列的前n项和为，且，.数列的首项为3，且，则_.16.过点的直线与抛物线：交于两点（在之间），是的焦点，点满足，则与的面积之和的最小值是_.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.（本小
5、题满分12分）已知的内角的对边分别为，设，且.（1）求A及a；（2）若，求边上的高.18. (本小题满分12分)如图，四边形是梯形，四边形是矩形，且平面平面，是的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19. (本小题满分12分)2019年9月24日国家统计局在庆祝中华人民共和国成立70周年活动新闻中心举办新闻发布会指出，1952年2018年，我国GDP查679.1亿元跃升至90.03万亿元，实际增长174倍；人均GDP从119元提高到6.46万元，实际增长70倍.全国各族人民，砥砺奋进，顽强拼搏，实现了经济社会的跨越式发展.如图是全国2010年至2018年GDP总量（
6、万亿元）的折线图.注：年份代码19分别对应年份20102018.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与年份代码的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立关于的回归方程（系数精确到0.01），并预测2021年全国GDP的总量.附注：参考数据：.参考公式：相关系数；回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.20. (本小题满分12分)已知椭圆过点，且离心率为.（1）求的方程；（2）已知直线不经过点，且斜率为，若与交于两个不同点，且直线的倾斜角分别为，试判断是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由21. (本小题满分12分)已知函数，证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有
7、2个零点.（二）选考题：共10分请考生在第22，23两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22.（本小题满分10分）选修：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.（1）求的直角坐标方程；（2）设与交于点，点的坐标为，求.23.（本小题满分10分）选修：不等式选讲已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式成立，求实数的取值范围.福清市2020届高三年“线上教学”质量检测理科数学参考答案及评分细则评分说明：1本解答给出了解法供参考，如果考生的
8、解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题5分，满分60分1. C2. C3. A 4. B5. D 6.D 7.A 8. A9. B10.C 11.B 12.A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13
9、. 14. 15. 16. 8三、解答题：本大题共6小题，共70分 17.【命题意图】本题主要考查解三角形、正弦定理和余弦定理等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象的数学核心素养满分12分【解析】（1）因为，根据正弦定理得，2分又因为，3分4分因为所以，5分6分（2）由（1）知，由余弦定理得8分因为，所以所以9分设BC边上的高为.10分 即BC边上的高为.12分18.【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，二面角等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养满分12分【解析】（1）连结，交于，连结，如图所示，因为四边形是矩形，所以是的中点，1分由于是
10、的中点，所以，2分由于平面，平面，所以平面. 4分（2）因为平面平面，平面平面，所以平面，可知两两垂直，5分以点为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系. 因为，则，设平面的法向量为，则所以7分取，则，8分依题意，得平面的一个法向量为，9分 ，11分故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.12分19.【命题意图】本题主要考查线性回归、相关系数等基础知识，意在考查数学建模、数学抽象、数学运算、数据分析的数学核心素养满分12分【解析】（1）由折线图中的数据和附注中参考数据得，1分，2分，4分所以，5分因为与的相关系数近似为0.997，说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模
11、型拟合与的关系. 6分（2）由已知及（1）得，8分，9分所以关于的回归方程为.10分将2021年对应的年份代码代入回归方程，得，所以预测2021年全国GDP总量约为104.94万亿元. 12分20.【命题意图】本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算满分12分.【解析】(1)由题意得，2分解得，3分所以的方程为.4分(2)设直线，由，得，由，解得或，5分则，6分依题意，易知与的斜率存在，所以，设直线与的斜率分别为，则，7分欲证，只需证，即证.8分故.9分又，所以10分11分所以.12分21.【命题意图】本题主要考查函数和导数及其
12、应用、三角函数等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养满分12分.【解析】(1)设，1分当时，所以在上单调递减，2分又因为， 3分所以在上有唯一的零点，即函数在上存在唯一零点4分当时，在上单调递增;当时，在上单调递减;所以在上存在唯一的极大值点5分(2)由(1)知：在上存在唯一的极大值点所以，又因为，所以在上恰有一个零点6分又因为，所以在上也恰有一个零点7分当时，设，所以在上单调递减，所以，8分所以当时，恒成立，所以在上没有零点9分当时，设，所以在上单调递减，所以10分所以当时，恒成立所以在上没有零点11分综上，有且仅有两个零点12分22.【命题意图】本题主要考查直线的参
13、数方程和参数的几何意义，直角坐标方程和极坐标方程的互化，直线和圆的位置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养满分10分.【解析】(1)曲线的方程，2分，4分即的直角坐标方程为.5分 (2)设点对应的参数分别为.把直线(为参数)代入得，整理得，.，7分为异号，8分又点在直线上，.10分23.【命题意图】本题主要考查解绝对值不等式和不等式恒成立等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养满分10分.【解析】当时，当时，不等式成立；1分当时，；2分当时，不成立，3分综上，不等式的解集为.5分(2)当时，化为，6分，7分在单调递减，故；8分在单调递增，故，9分所以，所以的取值范围是.10分
