1、数学试题卷 第 1 页 （共 4 页）湖南省名校联盟20192020学年高二12月联考数学（本试卷共 4 页，22 题，全卷满分：150 分，考试用时：120 分钟）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交。一选择题：共 12 小题，每小题 5 分，满分
2、 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合1,21,xAx xBx则A0ABx xB ABRC1ABx xD1ABx x2已知函数221log()(0)()3(0)xxaxf xx，若 f f(2)=1，则 a=A-2B-7C1D53已知曲线3()21f xaxx在 x=1 处的切线的倾斜角为 4，则 a=A 23B1C 32D34一只小虫在边长为 2 的正方形内部爬行，到各顶点的距离不小于 1 时为安全区域，则小虫在安全区域内爬行的概率是A14B 4C16D 65在等差数列an中，nS 为前 n 项和，且7925aa，则9S 的值为A9B36C45D546已知
3、曲线12:sin(2),:cos4CyxCyx，若想要由2C 得到1C，下列说法正确的是A把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平移 8个单位B把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向右平移 4个单位C把曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的 12（纵坐标不变），再向左平移 4个单位D把曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的 12（纵坐标不变），再向右平移 8个单位数学试题卷 第 2 页 （共 4 页）7如图是抛物线拱形桥，当水面在 l 时，拱顶高于水面 2m，水面宽为 4m，当水面宽为2 5 m 时，水位下降了()mA 5B2C1D 128
4、已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右顶点为 A,以 A 为圆心，b 为半径作圆 A,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点，若0AM AN,则 C 的离心率为A22B 2C32D 39已知圆22:(2)2Cxy，点 P 在直线20 xy上运动，过点 P 向圆 C 作切线，切点分别为 A、B,则四边形 PACB 面积的最小值为A 3B2 2C2 3D410若两个正实数 x,y 满足 411xy,对这样的 x,y，不等式234xymm 恒成立,则实数 m 的取值范围是A(1,4)B(4,1)C(,4)(1,)D(,1)(4,)11已知抛物线2:4C yx 的焦点为 F，
5、准线 l 与 x 轴的交点为 K,P 是 l 上一点，连接 PF 交抛物线于点 M，若3PFMF,则MFK 的面积为A 2 33B 4 33C 2D2 212已知函数1(0)()log(0)axxf xxx，函数 g(x)是偶函数，且(2)()g xg x，当0,1x时，()21xg x，若函数 y=f(x)-g(x)恰好有 6 个零点，则 a 的取值范围是A(5,+)B(5,6)C(4,6)D(5,7)二填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分。13已知函数()2(1)xf xxfe，则(1)f14已知数列 na满足21*123222()2nnnaaaanN，nS 为数列 na
6、的前 n 项和，则6S15一个几何体的三视图如图，网格中每个正方形的边长为 1，若这个几何体的顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为 数学试题卷 第 3 页 （共 4 页）16光线被曲线反射,等效于被曲线在反射点处的切线反射.已知光线从椭圆的一个焦点出发,被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出;如图,椭圆22122:1(0)xyCabab与双曲线22222:1(0,0)xyCmnmn有公共焦点,现一光线从它们的左焦点出发,在椭圆与双曲线间连续反射,则光线经过 2k(kN*)次反射后，首次回到左焦点所经过的路径长为 三
7、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。17（10 分）已知命题 p:方程22121xymm表示双曲线，命题 q:2,1 0 xR mxmx.（1）写出命题 q 的否定“q”；（2）若命题“pq”为假命题，“q”为假命题，求实数 m 的取值范围 18（12 分）ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sinsin2 sinsinaA cCaCbB.（1）求 B；（2）若等差数列 na的公差不为 0，且 a1tanB=2,248,a a a 成等比数列，求数列14nna a前 n项和nS 19（12 分）双十一购物狂欢节，源于淘宝商城（天
8、猫）2009 年 11 月 11 日举办的网络促销活动，目前已成为中国电子商务行业的年度盛事，某商家为了解“双十一”这一天网购者在其网店一次性购物情况，从这一天交易成功的所有订单里随机抽取了 100份，按购物金额（单位：元）进行统计，得到如右 频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中 点值做代表计算）（1）求 a 的值；（2）试估计购物金额的平均数；（3）若该商家制订了两种不同的促销方案：方案一：全场商品打八折；方案二：全场商品优惠如下表：购 物 金 额范围200,400)400,600)600,800)800,1000)1000,1200)1200,1400商 家 优 惠（元）30501
9、40160280320如果你是购物者，你认为哪种方案优惠力度更大？数学试题卷 第 4 页 （共 4 页）20（12 分）在三棱锥 S-ABC 中，ABC 是正三角形，面 SAC面 ABC,AB=4,SA=SC=2 2,E、F分别是 AB,SB 的中点（1）证明：ACSB；（2）求二面角 B-CE-F 的余弦值.21（12 分）如图，要在河岸 EF 的一侧修建一条休闲式人行道，进行图纸设计时，建立了图中所示坐标系，其中 E,F 在 x 轴上，且 F(-3,0),道路的前一部分为曲线段 FBC，该曲线段为二次函 数2()(1)4f xa x在 x-3,0时的图像，最高点为 B,道路中间部分为直线段
10、 CD，CD/EF，且 CD=3，道路的后一段是以 O 为圆心的一段圆弧 DE （1）求 a 的值；（2）求 DOE 的大小；（3）若要在扇形区域 ODE 内建一个“矩形草坪”MNPQ,P 在圆弧 DE 上运动,M、N 在 OE 上,记 POE,则当 为何值时，“矩形草坪”面积最大 22（12 分）如图，椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点 F1、F2恰好是等轴双曲线22:2E xy 的左右顶点，且椭圆的离心率为22，P 是双曲线 E 上异于顶点的任意一点，直线 PF1和 PF2与椭圆的交点分别记为 A,B 和 C,D（1）求椭圆 C 的方程；（2）设直线 PF1、PF2的斜率分别为 K1，K2，求证：K1K2为定值；（3）若存在点 P 满足3 24ABCDAB CD，试求12F PF 的大小
