1、3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质【学习目标】课程标准学科素养1.掌握抛物线的几何性质(重点) 2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题(难点)1、直观想象2、数学运算3、逻辑推理【自主学习】一抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质焦点准线 范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR对称轴顶点离心率e 二直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系： 、 和 设直线ykxm与抛物线y22px(p0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将yk
2、xm代入y22px，消去y并化简，得k2x22(mkp)xm20. 交点个数即二次方程解的个数k0时，直线与抛物线的轴 ，此时直线与抛物线有 个公共点；k0时，0直线与抛物线 有 公共点0直线与抛物线 只有 公共点0直线与抛物线 公共点三弦长问题1.抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p2.抛物线的焦点弦过抛物线y22px(p0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)y1y2 ，x1x2 ；(2)|AB| ；(3) 【小试牛刀】1.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)抛物线关于顶点对称( )(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心( )
3、(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同( )(4)抛物线y22px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p( )(5)抛物线yx2的准线方程为x( )2.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为()Ax23yBy26x Cx212y Dy212x【经典例题】题型一 直线与抛物线的位置关系点拨：直线与抛物线交点问题的解题思路1.判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数2.直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：直线与抛物线的对
4、称轴重合或平行；直线与抛物线相切例1已知直线l：ykx1，抛物线C：y24x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点【跟踪训练】1 直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k_题型二 抛物线弦长问题点拨：抛物线弦长的求解思路当直线的斜率k存在且k0时，弦长公式为|AB|x1x2|y1y2|；当直线的斜率k0时，只有抛物线的对称轴是y轴时弦长存在，弦长公式为|AB|x1x2|；当直线的斜率k不存在时，只有抛物线的对称轴是x轴时弦长存在，弦长公式为|AB|y1y2|.注意：解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦的长度转化为端点的坐
5、标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解例2 斜率为2的直线经过抛物线y24x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长【跟踪训练】2 已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程题型三抛物线中点弦问题点拨：解决中点弦问题的基本方法是点差法、利用根与系数的关系，直线与抛物线的方程联立时消y有时更简捷，此类问题还要注意斜率不存在的情况，避免漏解一般地，已知抛物线y22px(p0)上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)及AB的中点P(x0，y0)，则kAB.例3 已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为
6、(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分(1)求抛物线E的标准方程；(2)求直线AB的方程【跟踪训练】3过点Q(4，1)作抛物线y28x的弦AB，恰被点Q所平分，则弦AB所在直线的方程为_【当堂达标】1.(多选)已知抛物线C：x22py，若直线y2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为（ ）Ax24y Bx24y Cx22yDx22y2.若抛物线y22x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A B C D3.设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A是抛物线上一点，若4，则点A的坐标是()A(2，2) B(1，2) C(1,2) D(2,2)
7、4.过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1x26，则|AB|_.5.若直线l：y(a1)x1与曲线C：y2ax恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合6.已知抛物线xy2与过点(1,0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积等于时，求k的值7.已知yxm与抛物线y28x交于A，B两点(1)若|AB|10，求实数m的值；(2)若OAOB，求实数m的值【参考答案】【自主学习】一.x x y y x轴 y轴 (0,0) 1 x1x2p 二相离 相切 相交 平行或重合 一个 相交 两个 相切 一个 相离 没有三p2 x1x2p 【小
8、试牛刀】1. 2 .C 解析：可设抛物线方程为x22py(p0)或x22py(p0)，依题意知3，p6.抛物线方程为x212y.【经典例题】例1 解：联立消去y，得k2x2(2k4)x10.(*)当k0时，(*)式只有一个解x，y1，直线l与C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴当k0时，(*)式是一个一元二次方程，(2k4)24k216(1k)当0，即k1，且k0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；当0，即k1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；当1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离综上所述，当k1或0时，l与C有一个公共点；当k1时，l与C没有公共点【跟踪训练】1 0
9、或1 解析：当k0时，直线与抛物线有唯一交点当k0时，联立方程消去y，得k2x24(k2)x40，由题意16(k2)216k20，解得k1.例2 解：如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)，准线方程x1由题设，直线AB的方程为：y2x2代入抛物线方程y24x，整理得：x23x10设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x1的距离|AA|，即|AF|AA|x11，同理|BF|x21，|AB|AF|BF|x1x22325【跟踪训练】2 解：当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y22px(p0)，则焦点F，直线l的方程为yx.设直线l与抛物
10、线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|AF|BF|AA1|BB1|x1x2p6，x1x26p.由消去y，得2px，即x23px0.x1x23p，代入式得3p6p，p.所求抛物线的标准方程是y23x.当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y23x.例3 解： (1)由于抛物线的焦点为(1,0)，所以1，p2，所求抛物线方程为y24x(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y4x1，y4x2，且x1x24，y1y22，由得(y1y2)(y2y1)4(x2x1)，所以2，所以所求直线AB的方
11、程为y12(x2)，即2xy30【跟踪训练】3 4xy150 解：法一：由题意知，当AB垂直于x轴时，不满足题意，故弦AB所在的直线的斜率存在，设该直线的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB所在直线的方程为yk(x4)1(k0)由消去x，得ky28y32k80，则y1y2.又y1y22，所以2，解得k4.故所求弦AB所在直线的方程为4xy150.法二：由题意知，当AB垂直于x轴时，不满足题意，故弦AB所在的直线的斜率存在设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y8x1，y8x2，且x1x28，y1y22，得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，将代入，得y1y24(x1x2
12、)，即4，则弦AB所在直线的斜率为4.故所求弦AB所在直线的方程为y14(x4)，即4xy150.【当堂达标】1.CD 解析：由，解得：或，则交点坐标为(0,0)，(4p,8p)，则，解得：， 则抛物线的方程，故选：CD2.A 解析：线段AB所在的直线方程为x1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1.3.B 解析：由题意知F(1,0)，设A，则，由4得y02，点A的坐标为(1，2)，故选B.4. 8 解析：因为直线AB过焦点F(1,0)，所以|AB|x1x2p628.5.解：因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组有唯一一组实数解，消去y，得(a1)x12ax，整理得(a1)2
13、x2(3a2)x10，(1)当a10，即a1时，方程是关于x的一元一次方程，解得x1，这时，原方程组有唯一解(2)当a10，即a1时，方程是关于x的一元二次方程令(3a2)24(a1)2a(5a4)0，解得a0或a当a0时，原方程组有唯一解当a时，原方程组有唯一解综上实数a的取值集合是6.解： 过点(1,0)且斜率为k的直线方程为yk(x1)(k0)，由方程组消去x整理得ky2yk0，14k20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数之间的关系得y1y2，y1y21.设直线与x轴交于点N，显然N点的坐标为(1,0)SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|，SAOB1，解得k.7.解： 由得x2(2m8)xm20.由(2m8)24m26432m0，得m2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x282m，x1x2m2，y1y2m(x1x2)x1x2m28m.(1)因为|AB|10，所以m，经检验符合题意(2)因为OAOB，所以x1x2y1y2m28m0，解得m8或m0(舍去)所以m8，经检验符合题意
