1、第二课时函数最值在实际生活中的应用(习题课)几何中的最值问题例1(链接教科书第202页例8)有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？解设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a2x，高为x，V(x)(a2x)2x，0x.即V(x)4x34ax2a2x，0x.实际问题归结为求V(x)在区间上的最大值点为此，先求V(x)的极值点在开区间内，V(x)12x28axa2.令V(x)0，得12x28axa20.解得x1a，x2a(舍去)当0x0；当x1x时，V(x)
2、0.因此x1是极大值点，且在区间内，x1是唯一的极值点，所以xa是V(x)的最大值点即当截下的小正方形边长为a时，容积最大1利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论2几何中最值问题的求解思路面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按
3、函数求最值的方法求解，最后检验 跟踪训练已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为_解析：设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底2r2，S圆柱侧2rh，圆柱的表面积S2r22rh.h，又圆柱的体积Vr2h(S2r2)，V(r)，令V(r)0得S6r2，h2r，V(r)只有一个极值点，故当h2r时圆柱的容积最大又r，h2.即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为.答案：用料、费用最少问题例2(链接教科书第203页例9)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(
4、2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解 (1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1.所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0，64)内为减函数；当64x0，f(x)在区间(64，640)内为增函数，所以f(x)在x64处取得极小值且为最小值此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小实际生活中用料最省、费用
5、最少、损耗最小、最节省时间等问题一般都需要利用导数求解相应函数的最小值根据f(x)0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值 跟踪训练已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时(80)，则y1kv2.当v12时，y1720，720k122，得k5.设全程燃料费为y元，由题意，得yy1，y.令y0，解得v0(舍去)或v16.若v016，当v(8，16)时，y0，y为增函数故v16(千米/时)时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省若v016，当v
6、(8，v0时，y0，y在(8，v0上为减函数故当vv0时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省综上可得，若v016，则当v16(千米/时)时，全程燃料费最省；若v016，则当vv0时，全程燃料费最省.利润最大问题例3(链接教科书第204页例10)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2.其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解 (1)因为x5时，y11，所以1011，
7、a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2，3x6.从而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)令f(x)0，解得x4或x6(舍去)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3，4)4(4，6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点所以当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大1经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的
8、成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动2关于利润问题常用的两个等量关系(1)利润收入成本；(2)利润每件产品的利润销售件数 跟踪训练某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p(xN*)(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式；(2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？解：(1)由题意可知次品率p日产次品数/日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x(1p)因为次品率p，当每天生产
9、x件时，有x件次品，有x件正品所以T200x100x25(xN*)(2)T25，由T0得x16或x32(舍去)当0x16时，T0；当x16时，T0；所以当x16时，T取极大值且为最大值即该厂的日产量定为16件，能获得最大日盈利三次函数的极值与零点的关系利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数f(x)ax3bx2cxd(a0)的图象，当a4，b1，c5，d1时，f(x)的图象如图所示改变a，b，c，d的值，观察图象的形状：(1)你能归纳函数f(x)的图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？(2)运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间问题
10、探究1给定三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，求导得f(x)3ax22bxc.用表示方程f(x)0的根的判别式，有以下结论：(1)当4(b23ac)0时，有两个极值点；当4(b23ac)0时，无极值点(2)函数f(x)的图象存在水平切线，则f(x)0有实数解，从而4(b23ac)0.(3)函数在R上单调递增，则a0且4(b23ac)0.2对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，为了描述方便简洁，这里只给出a0的情形令x1，x2为f(x)的极值点，用表示f(x)3ax22bxc对应方程的根的判别式，则结合零点存在性定理，有如下结论：(1)yf(x)有一个零点0或f(x1)f(x2
11、)0；(2)yf(x)有两个零点(3)yf(x)有三个零点3相应函数图象的情况如下：(1)三次函数有一个零点意味着函数单调或者极大值和极小值同号，如图所示；(2)三次函数有两个零点意味着函数有两个极值点，且其中一个极值点为零点，如图所示；(3)三次函数有三个零点，则函数的极大值和极小值异号，如图所示；迁移应用1已知函数f(x)x33xm只有一个零点，则实数m的取值范围是()A2，2B(，2)(2，)C(2，2) D(，22，)解析：选Bf(x)x33xm，f(x)3x23.由f(x)0，得x1或x1，此时函数单调递增；由f(x)0，得1x1，此时函数单调递减即当x1时，函数f(x)取得极大值；
12、当x1时，函数f(x)取得极小值要使函数f(x)x33xm只有一个零点，则需满足f(1)f(1)0，即(m2)(m2)0，解得m2或m2.综上，实数m的取值范围是m2或m2.2若x3ax10有两个不同的实数根，求实数a的取值范围解：令f(x)x3ax1，则f(x)x2a.由f(x)0有两个不同的实数根，得由0，得a0，令f(x)0，得x1，x2，所以f(x1)()3a1(a)1，f(x2)()3a1(a)1，则f(x1)f(x2)1(a)30，解得a.综上，实数a的取值为.3若2x33(12a)x26a(a1)x0有三个不同的实数根，求实数a的取值范围解：令f(x)2x33(12a)x26a(
13、a1)x，则f(x)6x26(12a)x6a(a1)6(xa)(xa1)由f(x)0有三个不同的实数根，得360，显然成立，令f(x)0，得x1a，x2a1，所以f(x1)2a33a2a2(2a3)，f(x2)(a1)2(2a236a6a)(a1)2(12a)，则f(x1)f(x2)a2(2a3)(a1)2(12a)0，解得a0或0a1或1a.综上，实数a的取值范围是(0，1).1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A8B.C1 D8解析：选C瞬时变化率即为f(x)x22x
14、为二次函数，且f(x)(x1)21，又x0，5，故x1时，f(x)min1.2为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值解：(1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x).而建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)6，令f(x)0，即6，解得x5或x(舍去)当0x5时，f(x)0，当5x0，故x5是f(x)的极小值同时为最小值点，对应的最小值为f(5)6570.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元
