1、第4节绝对值不等式最新考纲1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)；|ab|ac|cb|(a，bR)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xc|xb|a.知 识 梳 理1绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|a(，a)(a，)(，0)(0，)R(2)|axb|c (c0)和|axb|c (c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc；(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式的几何
2、意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想2含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立；(2)|a|b|ab|a|b|；(3)如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立常用结论与微点提醒1绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法2不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决3可以利用绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件诊 断 自 测1思
3、考辨析(在括号内打“”或“”)(1)若|x|c的解集为R，则c0.()(2)不等式|x1|x2|2的解集为.()(3)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()(4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立()(5)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()答案(1)(2)(3)(4)(5)2若函数f(x)|x1|2xa|的最小值为3，则实数a的值为()A5或8 B1或5C1或4 D4或8解析分类讨论：当a2时，f(x)显然，x时，f(x)min1a3，a4，当a2时，f(x)显然x时，f(x)min1a3，a8.答案D3若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_解析|k
4、x4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.答案24不等式|x1|x5|2的解集为_解析当x1时，原不等式可化为1x(5x)2，42，不等式恒成立，x1.当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2，x4，1x4，当x5时，原不等式可化为x1(x5)0.(1)当a1时，则不等式f(x)3x2的解集为_(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，则a的值为_解析(1)当a1时，f(x)3x2可化为|x1|2.由此可得x3或x1.故当a1时，不等式f(x)3x2的解集为x|x3或x1(2)由f(x)0得|xa|3x0.此不等式化为不等式组或即或因为a0，所以不等式组的解集为.由题设可
5、得1，故a2.答案(1)x|x3或x1(2)2考点一含绝对值不等式的解法【例1】 (一题多解)解不等式|x1|x2|5.解法一如图，设数轴上与2，1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数显然，区间2，1不是不等式的解集把A向左移动一个单位到点A1，此时A1AA1B145.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1AB1B5，故原不等式的解集为(，32，)法二原不等式|x1|x2|5或或解得x2或x3，原不等式的解集为(，32，)法三将原不等式转化为|x1|x2|50.令f(x)|x1|x2|5，则f(x)作出函数的图象，如图所示由图象可知，当x
6、(，32，)时，y0，原不等式的解集为(，32，)规律方法形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(，a，(a，b，(b，)(此处设ab)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|xa|xb|c(c0)的几何意义：数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象，结合图象求解【训练1】 (2017全国卷改编)已知函数f(x)|x1|x2|，则：(1)不等式f(x)1的解集为_；(2)若不等式f(x)x2
7、xm的解集非空，则m的取值范围为_解析(1)f(x)当x2时，f(x)31恒成立故f(x)1的解集为1，)(2)不等式f(x)x2xm等价于f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x有解又|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|，当且仅当x时，|x1|x2|x2x.故m的取值范围是.答案(1)1，)(2)考点二绝对值不等式性质的应用【例2】 (1)对任意x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值；(2)对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值解(1)x，yR，|x1|x|(x1)x|1，|y1|y1|(y1)(y1)|2，|x1|x|y1|y1|123.|x1|
8、x|y1|y1|的最小值为3.(2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.规律方法求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|；(3)利用零点分区间法【训练2】 (1)若关于x的不等式|2 014x|2 015x|d有解，求实数d的取值范围；(2)不等式|a2|sin y对一切非零实数x，y均成立，求实数a的取值范围解(1)|2 014x|2 015x|2 014x2 015x|1，关于x的不等式|2 014x|2 015x|d有解时，d1.(2)x(，2
9、2，)，2，)，其最小值为2.又sin y的最大值为1，故不等式|a2|sin y恒成立时，有|a2|1，解得a1，3考点三含绝对值的不等式的应用【例3】 (2016浙江卷)已知a3，函数F(x)min2|x1|，x22ax4a2，其中minp，q(1)求使得等式F(x)x22ax4a2成立的x的取值范围；(2)求F(x)的最小值m(a)；求F(x)在区间0，6上的最大值M(a)解(1)由于a3，故当x1时，(x22ax4a2)2|x1|x22(a1)(2x)0，当x1时，(x22ax4a2)2|x1|(x2)(x2a)所以使得等式F(x)x22ax4a2成立的x的取值范围是2，2a(2)设函
10、数f(x)2|x1|，g(x)x22ax4a2，则f(x)minf(1)0，g(x)ming(a)a24a2，所以，由F(x)的定义知m(a)min，即m(a)当0x2时，F(x)f(x)max2F(2)当2x6时，F(x)g(x)maxmaxmax.所以M(a)规律方法(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法【训练3】 已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(x)1化为|x1|
11、2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x1的解集为.(2)由题设可得，f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1，0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以实数a的取值范围为(2，)基础巩固题组一、选择题1已知全集UR，集合Mx|x1|2，则UM()Ax|1x3 Bx|1x3Cx|x3 Dx|x1或x3解析Mx|1x3，又知全集是R，所以其补集为UMx|x3答案C2不等式|x2|x1|0的解集为()A. B.C. D.解析不等式可化为|x2|x1|，两边平方化简得2x3，x.答案A
12、3不等式|x5|x3|10的解集是()A5，7 B4，6C(，57，) D(，46，)解析|x5|x3|表示数轴上的点到3，5的距离之和，不等式|x5|x3|10的解集是(，46，)答案D4不等式1|2x1|2的解集为()A. B.C. D(，01，)解析不等式等价于不等式组由(1)得x，由(2)得x0或x1，故原不等式的解集为.答案C5已知集合Mx|2x1|2，N，则MN等于()A. B.C. D.解析由|2x1|2得22x12，则x；由1得0，即1.因此MN.答案A6(2018浙江名校三联)已知f(x)2x24x1，设有n个不同的数xi(i1，2，n)满足0x1x2a.(1)若不等式有解，
13、则实数a的取值范围为_(2)若不等式的解集为R，则实数a的取值范围为_解析由|x1|x3|x1(x3)|4.可得4|x1|x3|4.(1)若不等式有解，则a4；(2)若不等式的解集为R，则af()，则a的取值范围是()A. B.C. D.解析因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增，所以f(x)f(x)，且f(x)在(0，)上单调递减由f(2|a1|)f()，f()f()可得2|a1|，即|a1|，所以a.答案C14若不等式|2x1|xa|a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解析当a时，|2x1|xa|当x时取最小值为a.不等式|2x1|xa
14、|a对任意的实数x恒成立，aa，a，时，同理可得x时，|2x1|xa|最小值为a，不等式|2x1|xa|a对任意的实数x恒成立，aa恒成立，a，综上所述实数a的取值范围是.答案D15(2017浙江卷)已知aR，函数f(x)|xa|a在区间1，4上的最大值是5，则a的取值范围是_解析当x1，4时，x4，5，下面对a分三种情况讨论：当a5时，f(x)axa2ax，函数的最大值为2a45，解得a(舍去)；当a4时，f(x)xaax5，此时满足题意；当4a5时，f(x)maxmax|4a|a，|5a|a，则或解得a或4a.综上，a的取值范围是.答案16已知a和b是任意非零实数(1)求的最小值；(2)若
15、不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，求实数x的取值范围解(1)4，的最小值为4.(2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，即|2x|2x|恒成立，故|2x|2x|.由(1)可知，的最小值为4.x的取值范围即为不等式|2x|2x|4的解集解不等式得2x2.故实数x的取值范围为2，217已知函数f(x)log2(|x1|x2|a)(1)当a7时，求函数f(x)的定义域；(2)若关于x的不等式f(x)3的解集是R，求实数a的最大值解(1)由题设知|x1|x2|7，当x2时，得x1x27，解得x4.当1x2时，得x12x7，无解当x1时，得x1x27，解得x3.函数f(x)的定义域为(，3)(4，)(2)不等式f(x)3，即|x1|x2|a8，当xR时，恒有|x1|x2|(x1)(x2)|3，又不等式|x1|x2|a8的解集是R，a83，即a5，a的最大值为5.
