1、第41讲简单的线性规划考试要求1.从实际情境中抽象出二元一次不等式(组)，二元一次不等式的几何意义(A级要求)；2.用平面区域表示二元一次不等式组(A级要求)；3.从实际情况中抽象出一些简单的线性规划问题，并加以解决(A级要求).诊 断 自 测1.(教材改编)已知点A(1，0)，B(2，m)，若A，B两点在直线x2y30的同侧，则m的取值集合是_.解析因为A，B两点在直线x2y30的同侧，所以把点A(1，0)，B(2，m)代入可得x2y3的符号相同，即(1203)(22m3)0，解得m.答案2.(教材改编)如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是_.解析不等式y2x1表示直线y2x1下方的平
2、面区域及直线上的点，不等式x2y4表示直线x2y4上方的平面区域，所以这两个平面区域的公共部分就是所表示的平面区域.答案3.(2017全国卷)设x，y满足约束条件则z2xy的最小值是_.解析可行域如图阴影部分所示，当直线y2xz取到点(6，3)时，所求最小值为15.答案154.(必修5P95习题11改编)若实数x，y满足不等式组则zx2y2的最小值是_.解析作出可行域如图中阴影部分所示，zx2y2的最小值表示阴影部分(包含边界)中的点到原点的距离的最小值的平方，由图可知直线xy10与直线x1的交点(1，2)到原点的距离最近，故zx2y2的最小值为12225.答案5知 识 梳 理1.二元一次不等
3、式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线.(2)由于对直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入AxByC，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0By0C的符号即可判断AxByC0表示的直线是AxByC0哪一侧的平面区域.2.线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由
4、x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证.4.判断区域方法(1)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于AxByC0
5、或AxByC0时，区域为直线AxByC0的上方；当B(AxByC)0时，区域为直线AxByC0的下方.(2)最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个.考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)(2015重庆卷改编)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为_.(2)若不等式组所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两部分，则k的值是_.解析(1)不等式组表示的平面区域如图，则图中A点纵坐标yA1m，B点纵坐标yB，C点横坐标xC2m，SABDSACDSBCD(22m)(1m)(22m)，m12或2(
6、舍)，m1.(2)不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线ykx过定点.因此只有直线过AB中点时，直线ykx能平分平面区域.因为A(1，1)，B(0，4)，所以AB中点D.当ykx过点时，所以k.答案(1)1(2)规律方法(1)求平面区域的面积：首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可.(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解.
7、【训练1】 (1)若函数y2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为_.(2)(2018徐州四校模拟)若不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是_.解析(1)在同一直角坐标系中作出函数y2x的图象及所表示的平面区域，如图阴影部分所示.由图可知，当m1时，函数y2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.(2)不等式xy50和0x2表示的平面区域如图所示.因为原不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，所以由图可知5a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a_.解析(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A(2，0)，由得B
8、(1，1).由zaxy，得yaxz.当a0时，zaxy在A(2，0)或B(1，1)处取得最大值，2a4或a14，a2，a3(经检验舍去)，则a2满足题意.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分).易知直线z2xy过交点A时，z取最小值，由得zmin22a1，解得a.答案(1)2(2)规律方法(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：表示点(x，y)与原点(0，0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离；表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a
9、，b)连线的斜率.(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.【例22】 已知变量x，y满足约束条件试求解下列问题.(1)z的最大值和最小值；(2)z的最大值和最小值；(3)z|3x4y3|的最大值和最小值.解作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，易得A(1，1)，B(5，2)，C.(1)z表示的几何意义是可行域中的点(x，y)到原点(0，0)的距离，如图所示，zmax，zmin.(2)z表示区域中的点(x，y)与点M(2，0)连线的斜率，如图所示.zmaxkMC，zminkMB.(3)z|3x4y3|5，而表示区域中的点(x，y)到直线3x4y30的距离，如图所示
10、，zmax26，zmin10.规律方法(1)此题中与z有关量的几何意义不再是纵截距，而是点到点的距离、斜率、点到直线的距离.(2)在第(3)问中才是点到直线的距离.考点三可转化线性规划的问题【例3】 已知正数a，b，c满足则的取值范围是_.解析条件可化为设x，y，则题目转化为：已知变量x，y满足求的取值范围.作出(x，y)所在的平面区域如图中阴影部分所示.假设在yex上一点P(x0，y0)处取得最小值.则，设g(x)，g(x)，易知x1时，g(x)取得最小值，故此时e，当(x，y)对应点C时，取得最大值7，所以的取值范围为e，7，即的取值范围是e，7.答案e，7【训练2】 若变量a，b满足约束
11、条件求u的最大值.解将不等式组中各不等式两边同时取以3为底的对数得再令xlog3a，ylog3b，得同时令zlog3u2log3alog3b2xy，题目就转化为：若x，y满足约束条件求z2xy的最大值.作出可行域如图中阴影部分所示，将z2xy化为y2xz，平移直线y2xz，当直线过点A时，z取得最大值，联立，解得A(1，1)，此时zmax2111，umax3.考点四线性规划的实际应用问题【例4】 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵
12、可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解(1)依题意每天生产的伞兵个数为100xy，所以利润5x6y3(100xy)2x3y300.(2)约束条件为整理得目标函数为2x3y300，作出可行域，如图所示，作初始直线l0：2x3y0，平移l0，当l0经过点A时，有最大值，由得最优解为A(50，50)，此时max550元.故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元.规律方法解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解
13、题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系.(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数.(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解).(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值).(5)检验：根据结果，检验反馈.一、必做题1.若点(m，1)在不等式2x3y50所表示的平面区域内，则m的取值范围是_.解析由2m350，得m1.答案(1，)2.(2017北京卷)若x，y满足则x2y的最大值为_.解析画出可行域，设zx2y，则yx.当直线yx过C(3，3)时，z取得最大值9.答案93.直线2xy100与不等式组表示的平面区域的公
14、共点有_个.解析由不等式组画出可行域的平面区域如图(阴影部分).直线2xy100恰过点A(5，0)，且其斜率k2kAB，即直线2xy100与平面区域仅有一个公共点A(5，0).答案14.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是_.解析不等式组表示的平面区域如图(阴影部分)，求A，B两点的坐标分别为和(1，0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是0a1或a.答案(0，15.(2016天津卷改编)设变量x，y满足约束条件则目标函数z2x5y的最小值为_.解析由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为yxz，在图中画出直线yx，平移该直线，易知经过点A时z最小.
15、又知点A的坐标为(3，0)，zmin23506.答案66.(2016江苏卷)已知实数x，y满足则x2y2的取值范围是_.解析已知不等式组所表示的平面区域如图：x2y2表示原点到可行域内的点的距离的平方.解方程组得A(2，3).由图可知(x2y2)min，(x2y2)max|OA|2223213.答案7.(2018苏北三市质检)若实数x，y满足约束条件则|3x4y10|的最大值为_.解析作出实数x，y在约束条件下的平面区域(如图所示)，令z3x4y10，则平移直线3x4y0经过点A(1，0)时，zmax3107；平移直线3x4y0经过点B时，zmin310，即z3x4y107，从而7|3x4y1
16、0|，所求的|3x4y10|的最大值为.答案8.已知变量x，y满足约束条件若zx2y的最大值与最小值分别为a，b，且方程x2kx10在区间(b，a)上有两个不同实数解，则实数k的取值范围是_.解析作出可行域，如图所示，则目标函数zx2y在点(1，0)处取得最大值1，在点(1，1)处取得最小值3，a1，b3，从而可知方程x2kx10在区间(3，1)上有两个不同实数解.令f(x)x2kx1，则k0，令t|2xy2|6x3y|，当2xy20时，tx2y4.点(x，y)可取区域内的点(含边界).通过作图可知，当直线tx2y4过点A时，t取最小值，tmin43.当2xy28343.综上，tmin3，即|
17、2xy2|6x3y|的最小值是3.答案312.(2016天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料ABC甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨.在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.解(1)由已知，x，y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分.图(2)设利润为z万元，则目标函数为z2x3y.考虑z2x3y，将它变形为yx，它的图象是斜率为，随z变化的一簇平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大.根据x，y满足的约束条件，由图可知，当直线z2x3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大.图解方程组得点M的坐标为(20，24)，所以zmax220324112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.
